Herkules a Poarot majú v byte loptičky s číslami od \(1\) po \(20\), každá loptička má na sebe práve jedno číslo. Chceli ich rozdeliť do \(2\) rovnako veľkých skupín tak, aby sa v skupinke nenachádzala loptička so súčtom čísel dvoch rôznych iných loptičiek z tej istej skupinky. Môže sa im to podariť? Ak áno, uveďte príklad, ak nie, vysvetlite prečo.

Poarova kuchyňa má tvar trojuholníka \(ABC\), v ktorom \(K\) je päta výšky vedená z bodu \(C\) na priamku \(AB\). Herkules vyznačil bod \(P\) na úsečke \(CK\) (iný ako \(C\) a \(K\)), stred úsečky \(AP\) ako bod \(E\), stred úsečky \(BP\) ako bod \(F\), stred úsečky \(BC\) ako bod \(G\) a stred úsečky \(AC\) ako bod \(H\). Dokážte, že kuchynská linka tvaru štvoruholníka \(EFGH\) je obdĺžnik.

Herkules a Poarot kachličkujú kúpeľňu tvaru mriežky \(8\times8\) políčok, v ktorej sú postupne po riadkoch vpísané čísla od \(1\) do \(64\). Herkules chcel do kúpeľne umiestniť 10 kachličiek v tvare trimín rovnakého typu tak, aby súčet nepokrytých čísel bol deliteľný \(3\). Vie to urobiť, ak

a. má k dispozícii triminá typu L,

b. má k dispozícii triminá typu I? 

Triminá vieme v oboch prípadoch ľubovoľne otáčať.

Herkulovi sa sníval sen, v ktorom sa snaží poraziť mocnú hydru. Môže spraviť jeden z nasledujúcich útokov:

- Seknutie: Odsekne hydre práve \(2\) hlavy. Ak to však nie sú jej posledné dve hlavy, tak jej ďalších \(9\) dorastie. Nedá sa použiť, ak má hydra len \(1\) hlavu.
- Ovalenie: Hydre odpadne po tomto útoku presne \(7\) hláv. Nedá sa použiť, ak má hydra menej ako \(7\) hláv.
- Šľahnutie: Môže ho vykonať, len ak má hydra párny počet hláv, a odsekne jej to polovicu z nich.

a. Vie Herkules hydre postupne zoťať všetky hlavy, ak ich má na začiatku \(2026\)? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

b. Vie Herkules hydre postupne zoťať všetky hlavy, ak ich má na začiatku \(2027\)? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Poarovo čarovné pravítko vie robiť nasledujúce veci:

    
1. rysovať priamky určené dvoma bodmi;

2. rozdeliť úsečku na ľubovoľný počet menších, ale rovnakých úsečiek (napríklad na štvrtiny);

3. preniesť dĺžku nejakej úsečky na zvolenú polpriamku.

Poarot si zázračným pravítkom narysoval rovnobežník \(ABCD\), potom našiel na strane \(CD\) jej stred \(M\). Úsečku \(BC\) predĺžil na priamku a preniesol vzdialenosť \(BC\) na túto priamku tak, aby na polpriamke \(CB\) vznikol nový bod \(N\) taký, že \(|NB|=|CB|\). Herkules mu ale gumou vymazal všetko okrem bodov \(A\), \(M\) a \(N\). Ako vie Poarot nanovo narysovať rovnobežník \(ABCD\), ak pozná len tieto tri body? Postup popíšte a dokážte, že pôjde o pôvodný rovnobežník.

Herkules a Poarot prišli na ostrov, kde žilo \(50\) detektívov. Všetci detektívi stáli v kruhu a každý z nich najprv oznámil vek svojho ľavého suseda, potom vek svojho pravého suseda. Každý detektív buď správne uviedol obe čísla, alebo jedno z čísel zväčšil o \(1\) a druhé zmenšil o \(1\) (podľa vlastného výberu). Je vždy možné určiť, ktorí z detektívov určili oba veky správne a ktorí nie? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

35. ročník - letný semester

1. séria