Zadania

V Mišovej triede s $19$ žiakmi sú takí, ktorí vždy len klamú, takí, ktorí vždy len hovoria pravdu a takí, ktorí niekedy klamú a inokedy hovoria pravdu. Vieme, že žiakov, ktorí vždy hovoria pravdu, je viac ako tých, ktorí niekedy klamú a inokedy hovoria pravdu. Každý zo žiakov povie jedno tvrdenie.

Koľko žiakov v triede vždy klame?

Na stenu koliby napísal Rišo všetky celé čísla od $1$ do $1000$. Potom postupne vždy dve z nich zmazal a napísal na stenu ich súčet. Takto pokračoval, kým mu neostali iba tri čísla. Vedel takto dostať tri po sebe idúce čísla?

Maťo si všimol na svojom obľúbenom strome zaujímavý fakt: sú na ňom zelené, žlté a červené listy. Zelené listy môžu zožltnúť alebo sčervenať, žlté a červené listy môžu odpadnúť (iné zmeny farby nenastávajú a nové listy nedorastajú). Včera na strome napočítal rovnako veľa zelených a červených listov a žltých sedemkrát viac ako zelených. Dnes spočítal, že je na strome zelených a žltých listov rovnako veľa a červených sedemkrát viac ako zelených. Dokážte, že včera bolo na strome aspoň štyrikrát toľko listov koľko dnes.

Rišo šiel cez les v tvare konvexného štvoruholníka $ABCD$ po cestičke $AC$, rozpoľujúcej cestičku spájajúcu stredy strán $AB$ a $CD$. Dokážte, že cestička $AC$ delí les na dve časti s rovnakou rozlohou.

V hrnci je desaťtisíc halušiek a dve sú na tanieri. Bačovia Rišo a Mišo hrajú nasledujúcu hru: striedavo vykonávajú ťahy, pričom Rišo začína. V každom ťahu si bača zvolí skutočný deliteľ počtu halušiek na tanieri (deliteľ menší ako počet halušiek) a toľko halušiek pridá na tanier. Hra sa končí, ak je na tanieri $2025$ alebo viac halušiek. Vyhráva ten, kto urobil posledný ťah. Ktorý z bačov má víťaznú stratégiu? Víťazná stratégia je postup, podľa ktorého keď hrá jeden hráč, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Lúka je štvorčeková mriežka v tvare obdĺžnika. Na nej je niekoľko medveďov veľkosti $2\times 1$ políčok tak, že žiadne dva nesusedia stranou ani vrcholom a zároveň žiaden medveď nezasahuje do ľavého dolného ani pravého horného políčka. Rišo stojí v ľavom dolnom políčku a chce sa dostať domov na pravé horné políčko bez toho, aby prešiel cez políčko s medveďom. Pohybuje sa tak, že prejde na políčko susediace stranou doprava alebo hore. Vie Rišo vždy dôjsť domov bez ohľadu na rozloženie medveďov, ak je lúka tvaru: