Zadania

Deviati súrodenci z rodu Papierovcov majú na sebe navzájom rôzne čísla od $1$ do $9$. Ich jedáleň má podlahu z dlaždíc o rozmere $3 \times 3$. Vedia sa postaviť každý na jednu dlaždicu tak, aby súčet čísel každej stranou susediacej dvojice súrodencov bolo prvočíslo? Ak áno, uveďte príklad takého rozostavenia. Ak nie, zdôvodnite prečo.

Knihovec objavil origami a chce si skúsiť niečo poskladať. Má pred sebou štvorcový papier označený $PQRS$, ktorý má stranu dĺžky $40$ cm. Bod $M$ je stred strany $PQ$ a bod $N$ je stred strany $PS$. Papier preložíme pozdĺž úsečky $MN$. Bod $P$ sa dotkne papiera v bode $P'$. Bod $T$ leží na strane $QR$ a bod $U$ leží na strane $SR$ tak, že $TU$ je rovnobežná s $MN$. Ak papier preložíme pozdĺž $TU$, bod $R$ sa dotkne papiera v bode $R'$, pričom $R'$ leží na $MN$. Lenže Knihovec má radšej počítanie ako skladanie origami a viac ho zaujíma, aký je obsah šesťuholníka $NMQTUS$, ktorý vznikol. Pomôžte mu ho vyrátať!

Na plochozemi žije rod Papierových, ktorí vždy hovoria pravdu, a rod Nožnicovcov, ktorí vždy klamú. Na hranie stolného tenisu boli všetci príslušníci týchto dvoch rodov rozdelení do dvoch tímov $A$ a $B$, pričom $A$ malo viac členov ako $B$. Hru začali dvaja hráči z rôznych tímov. Po každej hre prehrávajúci hráč hru navždy opustil a nahradil ho iný (ešte nehrajúci) člen jeho tímu. Družstvo prehralo, ak všetci jeho členovia opustili hru. Po turnaji sa každého člena tímu $A$ opýtali: "Je pravda, že si v akejkoľvek hre prehral s príslušníkom rodu Nožnicovcov?" a každého člena tímu B sa spýtali: "Je pravda, že si porazil aspoň dvoch Papierových?" Všetky odpovede sa ukázali ako kladné. Ktorý tím vyhral - $A$ alebo $B$? Zdôvodni.

Kamaráti Šuter a Balvan našli zaujímavý kameň v tvare trojuholníka a chcú ho preskúmať. Trojuholník si označili $ABC$, kde dĺžka strany $AB$ je $4$ a dĺžka strany $BC$ je $2$. Bod $D$ nech leží na $AB$ vo vzdialenosti $3$ od bodu $A$. Dokážte, že kolmica na $AB$ prechádzajúca bodom $D$, os uhla $ABC$ a os strany $BC$ sa pretínajú v jednom bode. Úlohu neriešte rysovaním.

Knihovec a Ostrihovač hrajú hru na tabuľke $7 \times 7$ a striedajú sa v ťahoch. Knihovec má červený kamienok v dolnom ľavom a hornom pravom rohu, Ostrihovač zasa čierny kamienok v dolnom pravom a hornom ľavom rohu. V svojom ťahu si môže hráč vybrať jeden zo svojich dvoch kamienkov a pohne s ním na susedné voľné políčko, ktoré s tým pôvodným susedilo stranou. Začína Knihovec a vyhráva vtedy, keď sa mu po konečnom počte ťahov podarí dostať svoje kamienky na dve políčka, ktoré susedia stranou. Má Knihovec výhernú stratégiu alebo mu v tom vie Ostrihovač zabrániť? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Do školy chodí $1085$ detí zo všetkých rodov. Každé dieťa pozná minimálne $33$ ďalších detí tejto školy tak, že poznania sú vzájomné. Dokážte, že vieme okolo stola posadiť $4$ deti z tejto školy tak, že každé pozná oboch svojich susedov.