Turnaja v dvojhre v tenise vo Vranove nad Topľou sa zúčastnili chlapci a dievčatá tak, že každý hral s každým práve raz a žiaden zápas sa neskončil remízou. Zistilo sa, že každý účastník prehral aspoň jeden zápas a zároveň každý chlapec prehral iný počet zápasov ako každý iný chlapec. Dokážte, že existuje dievča, ktoré vyhralo zápas s chlapcom.

V autobuse do Sabinova cestovalo \(35\) cestujúcich na sedadlách očíslovaných od \(1\) do \(35\) (každé sedadlo iným číslom). Každý z týchto ľudí buď vždy klame, alebo vždy hovorí pravdu. Každý z nich povedal, že počet pravdovravcov medzi cestujúcimi je deliteľom dvojnásobku čísla jeho sedadla. Koľko najviac pravdovravcov môže byť medzi cestujúcimi?

Vedľa hlavnej cesty v Medzilaborciach zahliadol pán Cestovateľ obraz Andyho Warhola, ktorý bol tvaru rovnostranného trojuholníka \(ABC\). 
Na jeho stranách \(AB\), \(BC\) a \(CA\) sú zvolené body \(D\), \(E\) a \(F\) (v tomto poradí) tak, aby   \(DE \parallel AC\) a \( DF \parallel BC \). Nájdite menší uhol medzi priamkami \(AE\) a \(BF\).

Pýcha Giraltoviec - barokový kaštieľ - pána Cestovateľa natoľko zaujala, že chcel zistiť, koľko má rokov. Richtár mu o jeho veku povedal:

- dá sa zapísať ako súčet \(3\) po sebe idúcich kladných celých čísel,
- dá sa zapísať ako súčet \(4\) po sebe idúcich kladných celých čísel,
- dá sa zapísať ako súčet \(6\) po sebe idúcich kladných celých čísel,
- nie je deliteľný \(3\),
- je deliteľný \(6\).

Koľko najviac z týchto výrokov môže byť naraz pravdivých? A koľko rokov má barokový kaštieľ, ak jeho vek je najmenšie číslo také, že spĺňa najväčší možný počet pravdivých výrokov?

Pán Cestovateľ chce rozdeliť pozemok v Michalovciach tvaru štvorca \(6 \times 6\) na štvorpolíčkové a päťpolíčkové úseky rovnaké ako tie na obrázku (pričom ale môžu byť oproti nim ľubovoľne otočené či preklopené). Nájdite všetky možné dvojice počtov týchto úsekov, na ktoré sa dá pozemok rozdeliť.

V Klokočove pri Zemplínskej Šírave si pán Cestovateľ nakreslil do piesku konvexný štvoruholník \(ABCD\), v ktorom platí \(|AB|=|BC|=|CD|\). Ďalej si označil stredy strán \(AB\), \(BC\) a \(CD\) postupne \(M\), \(N\) a \(O\). Po búrke mu však ostali nakreslené už iba body \(M\), \(N\) a \(O\). Popíšte spôsob, akým vie pán Cestovateľ nakresliť späť pôvodný štvoruholník \(ABCD\), ak má k dispozícii len pravítko bez mierky a rysky a kružidlo.

40. ročník - zimný semester

1. séria