1. séria

Putá sú tvaru rovnoramenného trojuholníka $ABC$. Jeho ramená $AC$ a $BC$ zvierajú uhol veľkosti $36$ stupňov. Os uhla $CAB$ pretína stranu $BC$ v bode $D$. Úsečka $CD$ má dĺžku $8$. Akú dĺžku má strana $AB$?

Zo sietí na obrázku možno zostrojiť $3$ kocky. Ak z nich postavíme stĺpček (položíme všetky tri kocky na seba, pričom môžeme kockami ľubovoľne otáčať a meniť ich poradie), na jeho bokoch môžeme (zhora dolu) prečítať štyri trojciferné čísla. Keď tieto štyri čísla sčítame, aký najvačší súčet môžeme dostať? Ako budú tieto kocky vyzerať? Nakreslite ich tak, aby bolo jasné, ktoré strany spolu susedia, a ktoré nie.

Napíšte niekoľko prirodzených čísel do radu tak, že súčet ľubovoľnej $17$-tice susedných čísel bude párny a zároveň ľubovoľnej $18$-tice susedných čísel bude nepárny. Koľko najviac čísel môže byť v rade?

Miestnosť má tvar šesťuholníka $ABEFGD$. Štvoruholníky $ABCD$ a $EFGC$ sú zhodné obdĺžniky a štvoruholník $BEGD$ je tiež obdĺžnik. Určte pomer obsahov bielej a sivej časti šesťuholníka $ABEFGD$, ak trojuholník $BEC$ je rovnostranný.

Heslo je stojedenáste prirodzené číslo $x$, pre ktoré platí, že $32x+18$ a $31x+25$ je deliteľné $11$. Aké je heslo?

"Je $10$ kanálov, ale žiadne dva nie sú prepojené poriadnym tunelom. Vydávam rozkaz, aby sa z každého kanálu prehrabali $4$ poriadne tunely vedúce do iných $4$ kanálov." Bude možné po realizácii tohto plánu prejsť do všetkých kanálov pomocou poriadnych tunelov bez ohľadu na to, ako budú tunely prekopané? Čo ak z každého kanálu pôjde $5$ tunelov?