1. séria

Na ostrove žijú klamári, poctivci a normálni ľudia. Klamári vždy klamú, poctivci vravia vždy pravdu a normálni ľudia niekedy vravia pravdu a niekedy klamú. Uzavrieť manželstvo môžu len dvaja normálni ľudia alebo klamár a poctivec. Ľudia z manželských párov A a B o sebe povedali: Pán A: Pán B je poctivec. Pani A: Manžel má pravdu, pán B je poctivec. Pani B: Naozaj, môj muž je poctivec. Určte, čo je každý z nich.

Počet pichliačov, čo Jožkovi narástli, je prirodzené číslo menšie ako $50$ $000$. Prvý okoloidúci prehlásil, že to číslo je deliteľné dvomi. Druhý, že to číslo je deliteľné tromi. Takto to pokračovalo, až dvanásty okoloidúci prehlásil, že to číslo je deliteľné trinástimi. Všetky tieto tvrdenia, okrem dvoch okoloidúcich, čo hovorili za sebou, boli pravdivé. Koľko pichliačov Jožkovi narástlo?

Číňan si našiel lukratívnu prácu, kde ho vyplatia za každý deň sumou rovnou počtu dní, koľko v práci pracuje. Teda prvý deň dostane $1$, druhý deň $2$, tretí deň $3$ peniaze... Keďže je dobrá duša a vie, že to je lukratívna ponuka, tak sa rozhodol, že si spraví denníček, kde si stále zapíše počet peňazí, ktoré zarobil, a bude ich aj každý deň sčítavať (vyzerá to asi takto - deň $1$: $1=1$, deň $2$: $1+2=3$, deň $3$: $3+3=6$, deň $4$: $6+4=10$...). Navyše, stále, keď suma, ktorú dovtedy (vrátane toho dňa) zarobil, bude deliteľná $3$, tak daruje charite časť zárobkov. A to tak, že keď sa to stane prvýkrát, tak daruje $1$ peniaz, keď sa to stane druhýkrát, tak daruje $2$ peniaze, keď tretíkrát tak $3$ peniaze... Vypočítajte, koľko daroval charite, aké mal posledné zapísané číslo v denníčku za celkový výnos z jeho práce (z toho denníčka si neodčítava darované peniaze) a koľko má peňazí po: a) $10$. odpracovanom dni b) $1000$. odpracovanom dni Riešenie zdôvodnite.

V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ s uhlom $ABC$ veľkosti 68 stupňov je $V$ priesečník jeho výšok a $P$ päta výšky na stranu $BC$. Os uhla $PVC$ je rovnobežná so stranou $AC$. Vypočítajte veľkosti uhlov $ACB$ a $CAB$.

Máme šachovnicu $8\times 8$. Do ľavého dolného rohu umiestnime figúrku. Hráč, ktorý je na ťahu, ňou môže posunúť o $1$, $2$ alebo $3$ políčka smerom hore, doprava alebo po uhlopriečke (ako strelec podľa klasických pravidiel šachu) v smere hore-doprava. Ten, kto musí potiahnuť do pravého horného rohu, prehráva. Pre ktorého hráča existuje vyhrávajúca stratégia? Nájdite ju a vysvetlite, prečo vždy funguje.

Vzor na oku vyzeral ako na obrázku, v mieste niektorých spojov bol farebný krúžok. Všetky krúžky, ktoré sa na vzore nachádzali, sú vyznačené na obrázku. Krúžky boli rôznych farieb, susedné (to sú tie, ktoré sú na obrázku spojené úsečkou) neboli nikdy rovnakej farby. Zisti, najmenej koľko farieb treba použiť, aby žiadne dva susedné krúžky nemali rovnakú farbu.