2. séria

Potrebujem napojiť $6$ rôznych korytnačiek. Jednotlivé korytnačky sú rôznej veľkosti, a preto potrebujú tieto dávky vody: $1$ dl, $2$ dl, $3$ dl, $4$ dl, $5$ dl, $6$ dl. Mám doma $21$ dl vody vo veľkej nádobe a dve odmerky, jednu na $5$ dl, druhú na $12$ dl. Ako pomocou odmeriek môžem rozdeliť korytnačkám potrebné množstvo vody?

Päť korytnačiek ($1$, $2$, $3$, $4$ a $5$) čaká na svoj ortieľ. Budú sa totiž variť v práve dvoch várkach. Rozhodnutie bolo nasledovné: A) aspoň jedna z korytnačiek $1$ a $3$ sa bude variť v druhej várke, B) korytnačky $2$ a $5$ sa budú variť v rôznych várkach, C) korytnačky $2$ a $3$ sa budú variť v tej istej várke, D) práve jedna z korytnačiek $3$ a $4$ sa bude variť v prvej várke, E) najviac jedna z korytnačiek $1$ a $5$ sa bude variť v prvej várke. Ako môžeme rozdeliť korytnačky do dvoch várok? Nájdite všetky možnosti.

Jeden hrniec mal tvar pravidelného šesťuholníka (nazvime ho $ABCDEF$) a druhý hrniec má rovnako šesťuholníkový pôdorys, no bol asi taký veľký, akoby sme stredy strán šesťuholníka $ABCDEF$ označili postupne $K$, $L$, $M$, $N$, $O$, $P$ a pospájali ich v tomto poradí. Aký je pomer obsahov šesťuholníkov $ABCDEF$ a $KLMNOP$?

Prirodzené čísla chcú, aby Jožko dokázal, že súčin dvoch dvojciferných prirodzených čísel nemôže byť nikdy štvorciferné číslo, ktoré má všetky štyri cifry rovnaké. Navyše má nájsť všetky dvojice prirodzených čísel, ktorých súčin je štvorciferné číslo so štyroma rovnakými ciframi. Pomôžte mu s tým.

Koľko prirodzených čísel $n$ menších ako $2015$ má vlastnosť, že $\frac{1}{3}+\frac{1}{n}$ sa dá zjednodušiť na zlomok s menovateľom menším ako $n$? Pod pojmom zlomok v tejto úlohe rozumieme podiel dvoch prirodzených čísel.

Zahrajú si spolu dve partie. Gandulf nakreslil na papier najprv $9$ (na prvú partiu) a potom $10$ bodov (na druhú partiu). Jožko a Gandulf na striedačku spájajú úsečkami body (vytvárajú medzi dvoma bodmi cestu - ak sa dve cesty pretínajú, tak sa tam vytvára most, nedá sa tam meniť smer). Vyhráva hráč, po ktorého ťahu vedie od každého bodu ku každému bodu cesta (nie nutne priamo). Pre ktorého hráča (prvého alebo druhého?) a kedy existuje víťazná stratégia? Vysvetlite aká. Čo keby bolo bodov $247$?