2. séria

Vyšetrovatelia si vypočuli štyri deti. Polícia od svedkov vedela, že každé z detí bolo pri stole s gejmbojom práve raz. Pred výsluchom sa však deti dohodli, že vyšetrovateľom budú stále klamať. Každý uviedol dve výpovede:

Tabuľka $3\times 3$ štvorcov je vyplnená číslami od $1$ do $9$, každým práve raz. V strede každého štvorca $2\times 2$ je kruh a v ňom je napísaný aritmetický priemer čísel v štvorci. Ako treba rozostaviť čísla do tabuľky, aby bol aritmetický priemer čísel z kruhov najväčší možný?

Vypočítajte veľkosť uhla $BAC$ v trojuholníku $ABC$, keď viete, že je trikrát menší ako uhol $BOC$, pričom $O$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$ (Kružnica vpísaná trojuholníku je taká kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka. Jej stred leží na priesečníku osí uhlov trojuholníka).

Na ruletovom stole je štvorcová sieť o rozmeroch $4\times 4$. Cieľom hry je zistiť, koľko navzájom nezhodných úsečiek (úsečiek s rôznymi dĺžkami) s krajnými bodmi v mrežových bodoch štvorcovej siete existuje v tejto sieti. Koľko ich existuje, ak by sieť mala rozmery $10\times 10$?

Kartón v tvare štvorca $ABCD$ má stranu dlhú $36$. Bod $E$ leží na strane $AB$ tak, že $|EB|=12$, bod $F$ leží v strede strany $BC$ a bod $G$ na strane $CD$ tak, že $|CG|=12$. Aký je obsah plochy ležiacej v trojuholníku $EFG$, ale mimo trojuholníka $AFD$?

Bezdomovec im dal za úlohu dokázať, že ak $n$ je celé číslo väčšie ako $6$, a ak $n-1$ a $n+1$ sú prvočísla, tak číslo $n\cdot n(n\cdot n+16)$ je deliteľné číslom $720$. Nejaké čiastkové body sa budú dať získať aj za dokázanie deliteľnosti menšími číslami. Preto neváhajte a pošlite aj nekompletné riešenia ;-).