1. séria

Jančiho svedomie tvorí 100 skutkov vykonaných v istom poradí, o ktorých bolo potrebné rozhodnúť, či sú dobré alebo zlé. Vnútorný hlas mu našepkal, že z každých piatich za sebou vykonaných skutkov sú práve tri skutky zlé. Janči si ešte uvedomil, že prvý a posledný skutok každého človeka je dobrý.

Jančiho známi žijú v oblasti, ktorá má podobu mriežky $4\times 4$ (viď obrázok). Každú hodinu od 17. do 32. má v pláne navštíviť jedného z nich. Chce si to naplánovať tak, že priradí každému známemu (políčku mriežky $4\times 4$) jednu z týchto hodín (prirodzených čísel) tak, aby v každej štvrti (štvrtine mriežky, štvorci $2\times 2$ $A$, $B$, $C$ alebo $D$) bol súčin hodín návštev deliteľný číslom 16. Je pre Jančiho možné takýto plán zostaviť? Svoje riešenie zdôvodnite.

Keď k trpaslíkovi Janči podišiel, videl, že má $500$ zlatiek. Vždy, keď trpaslíkom potrasie, vysype sa z neho $300$ zlatiek, ak toľko ešte má. Ak nie, nevypadne z neho ani minca. Okrem toho mu Janči vie vložiť do úst práve 198 zlatiek naraz, ktoré trpaslík pridá k tým, čo v sebe má. Akej najväčšej hotovosti sa vie Janči zmocniť, pokiaľ na začiatku nemal ani deravý groš (a ani zlatku)? Trpaslíka môže kŕmiť a triasť koľkokrát chce a v ľubovoľnom poradí.

Na zvitku bol narysovaný štvorec $ABCD$ a obdĺžnik $DEFG$, kde bod $E$ ležal na polpriamke opačnej k $BA$ a bod $C$ bol bodom úsečky $FG$. Dokážte, že pri ľubovoľnej polohe bodu $E$ je obsah obdĺžnika $DEFG$ rovný obsahu štvorca $ABCD$.

Najprv si Janči potrénuje lietanie. Od Zmokovho stromu (bod $A$) chce preletieť k novovytunelovanému tunelu (čiarkovaná čiara), odtiaľ k rozpadnutému diaľničnému úseku Nižná Váha – Vyšná Váha (druhá čiarkovaná čiara) a napokon domov (bod $B$). Nájdite najkratšiu trasu Jančiho letu pre situáciu na obrázku naľavo a pre situáciu na obrázku napravo.

Na jednom políčku šachovnice $8\times 8$ leží čierny kameň a na ostatných políčkach biele. V jednom kroku môžeme zmeniť na opačné (čierne na biele a biele na čierne) súčasne všetky štyri kamene v ktoromkoľvek štvorci $2\times 2$ na šachovnici. Zistite, či po určitom počte krokov môže byť na šachovnici rovnaký počet kameňov oboch farieb.