2. séria

Janči na úteku si chce urobiť prieskum okolia. Má v záujme prejsť si niekoľko strategických bodov. Vychádza z brlohu potkanieho šéfa a chce navštíviť hrad, družstevnú sýpku, palác, most a nábrežie a zakončiť svoje putovanie opäť v brlohu. Časy prechodu medzi jednotlivými miestami sú:

brloh - sýpka: $2,4$ sýpka - nábrežie: $1,0$ hrad - palác: $3,0$

brloh - most: $5,0$ sýpka - palác: $3,6$ hrad - most: $4,6$

brloh - nábrežie: $2,8$ sýpka - hrad: $3,8$ nábrežie - palác: $3,0$

brloh - palác: $3,4$ sýpka - most: $3,6$ nábrežie - most: $1,6$

brloh - hrad: $2,4$ hrad - nábrežie: $3,2$ most - palác: $3,2$

Nakreslite obrázok a navrhnite plán najkratšej možnej cesty pre Jančiho.

Janči sa ponoril do oparu katakomb a ocitol sa v hlavnej chodbe. Z nej viedlo mnoho bočných chodieb. Nad každým z východov bol osadený kameň s číslom. Janči si všimol, že súčet každých troch po sebe idúcich čísel je $20$ alebo $22$. Striedajú sa postupne v poradí $20$, $20$, $22$, $22$, $20$, $20$, $22$, ... Nad prvým východom bolo číslo $9$, nad deviatym $7$. Aký je súčet čísel prvých $100$ východov?

Ukážte, že $6$ trojuholníkov, ktoré vznikli rozdelením trojuholníka tromi ťažnicami, má rovnaké obsahy. Ťažnice sa vždy pretínajú v jednom bode, ktorý nazývame ťažisko.

Na stole ležala kocka a po poslednom hode vyzerala takto: V jej vrcholoch sa vznášali čísla od $1$ po $8$ (každé práve raz). Na každej stene kocky bol vyrytý súčet čísel, ktoré sa nachádzali vo vrcholoch príslušnej steny. Bolo zaujímavé, že všetky súčty na stenách, ktoré Janči videl (tých stien bolo päť), boli prvočísla a neboli medzi nimi žiadne dve rovnaké. Aké číslo bolo na šiestej stene kocky?

Chceli, nech Janči dokáže, že ak si ľubovoľne zvolíme $55$ rôznych celých čísel od $1$ do $100$ vrátane, budú medzi nimi dve, ktorých rozdiel je $9$, dve, ktorých rozdiel je $10$, dve, ktorých rozdiel je $12$ a dve, ktorých rozdiel je $13$. Prekvapujúco sa mocní nevedeli zmocniť vždy takých dvoch čísel, ktorých rozdiel je $11$, takže treba ukázať, že také tam byť nemusia.

V obdĺžniku $ABCD$ sa nachádzajú body $K$, $L$, $M$ a $N$ ako na obrázku. Daný útvar na obrázku je osovo súmerný podľa osí $KM$ aj $NL$. Pritom platí, že $|\angle ADK|=|\angle CDL|=30^{\circ }$. Akú časť plochy obdĺžnika $ABCD$ zaberá kosoštvorec $KLMN$?