2. séria

Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$ so základňou $AB$ dĺžky $12$ cm a výškou o polovicu menšou. Body $K$, $L$ ležia v tretine strán $AC$ a $BC$ bližšie k vrcholom $A$ a $B$. Vypočítajte obsah obdĺžnika $GFLK$, ak $F$, $G$ ležia na strane $AB$.

Obrazy sú označené číslami $1,2,\dots ,25$ a sú rozmiestnené do piatich riadkov a piatich stĺpcov štvorcovej mriežky $5\times 5$. Uvažujme súčty čísel v každom riadku a každom stĺpci. Medzi týmito desiatimi hodnotami sú párne čísla (párne súčty) a nepárne čísla (nepárne súčty). Označme $p$ súčet všetkých párnych súčtov a $n$ súčet všetkých nepárnych súčtov. Môžu byť čísla $1,2,\dots ,25$ rozmiestnené do mriežky tak, aby platilo $p=n$?

Hra vyzerala nasledovne: Guličky usporiadali do troch skupín o počte $11$, $12$ a $13$. Bet a Moc mali za úlohu ich všetky postupne zobrať a hrali hru na ťahy. Ťah vyzeral tak, že ten, kto bol na rade, musel zobrať dve guličky, každú z inej skupiny. Kto nemohol zahrať takto predpísaný ťah, prehral. Nájdite výhernú stratégiu pre niektorého z hráčov. (Výhernou stratégiou rozumieme návod, ako má hráč hrať, aby vždy vyhral, nech ten druhý hrá akokoľvek.)

Babka Eva Rosina a jej vnuk Moc majú narodeniny v rovnaký deň. Pri šiestich posebe idúcich oslavách narodenín bol babkin vek vždy deliteľný vekom Moca. Koľké narodeniny oslavovala babka na poslednej z týchto šiestich osláv? Babka nemá viac ako $100$ rokov a veky sú celé čísla. Nezabudnite nájsť všetky možnosti a odôvodniť, že iné neexistujú.

Na papieriku stálo: usporiadaný rad čísel obsahuje čísla $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ v nejakom poradí. Každé číslo tohto radu, okrem prvého, delí súčet všetkých predchádzajúcich čísel znížený o $1$. Ktoré čísla môžu byť posledné v rade, ak je prvým číslom sedmička?

Štvorec $ABCD$ má veľkosť strany $6$ cm. Stredy strán $AB$ a $AD$ označme ako body $E$ a $F$. Úsečky $CF$ a $DE$ rozdelia štvorec na štyri útvary. Vypočítajte obsahy týchto útvarov.