1. séria

Zo všetkých piatich chlapcov iba jeden vie, kde našli drakkar. Avšak ani pri výsluchu nevravia všetci pravdu. Vyplašení pohľadom na nablýskanú čepeľ každý utrúsil jednu vetu. V poradí títo piati povedali:

V pretláčacom turnaji sú štyria piráti a každý sa pretláča s každým práve raz. Pirát získa za výhru $3$ body, za remízu $1$ bod a za prehru $0$ bodov. Aký je najmenší počet bodov, ktorý môže mať pirát na konci turnaja, pričom bude mať stále viac bodov ako všetci ostatní piráti? Ukážte, ako vie tento počet bodov získať a nezabudnite odôvodniť, prečo menej bodov už mať určite nemôže.

Obrazec mal nasledujúci tvar ako na obrázku a Jack, ktorý mal dobré matematické vzdelanie vedel, že o ňom platí toto: $|QR|=|QA|$, uhly $AQP$ a $PRQ$ sú pravé a $PC$ je os uhla $QPR$. Ukážte, že úsečka $BC$ je rovnobežná s úsečkou $AR$ a že trojuholník $QBC$ je rovnoramenný.

Je možné zdolať dvestohlavého draka mečom z kráľovskej zbrojnice, ak ho môžeme použiť nasledovnými tromi spôsobmi? Sekom sa dá naraz odseknúť drakovi $48$ hláv, ale $33$ nových mu narastie. Šmykom sa dá odťať $21$ hláv a žiadna nová nenarastie. Fikom sa odsekne len jedna hlava a ešte narastie $7$ nových. Každý manéver sa dá použiť iba vtedy, keď má drak dostatočný počet hláv. Keď drak príde o všetky svoje hlavy, nové mu už nenarastú.Svoje riešenie poriadne odôvodnite.

Na poskladanom papieri stálo: Heslo je prirodzené číslo, ktoré neobsahuje nulu. Keď k tomuto heslu pripočítam všetky ďalšie rôzne čísla, ktoré môžu vzniknúť prehádzaním číslic môjho hesla, dostanem $4218$. Jack mužom dychtiacim po odpovedi chcel povedať aspoň aké najmenšie a aké najväčšie číslo mohol kuchár použiť. Aké to boli?

Na začiatku sú na papieri napísané čísla $1$, $2$, $\dots$, $n$. V každom ťahu si môžeme vybrať dve ľubovoľné čísla, ktorých aritmetický priemer je celočíselný, preškrtnúť ich a napísať na papier daný priemer. Dokážte, že pre každé $n\ge 3$ vieme postupovať tak, že na konci ostane na papieri len jedno nepreškrtnuté číslo.

(Aritmetický priemer dvoch čísel je ich súčet predelený dvomi.)