2. séria

Ukážte, že medzi každou skupinou $8$ prirodzených čísel, ktorej súčet je $20$, je vždy nejaká skupina čísel, ktorej súčet je $4$.

Problém znel: Na obrázku je trojuholník $ABC$, v ktorom $|\angle ABC|=72^{\circ }$ a $|\angle CAB|=84^{\circ }$. Bod $E$ leží na úsečke $AB$ tak, že úsečka $EC$ rozdeľuje uhol $BCA$ na dva zhodné. Bod $F$ leží na polpriamke $CA$ za bodom $A$. Bod $D$ leží na polpriamke $CB$ tak, že $DA$ rozdeľuje uhol $BAF$ na zhodné uhly. Dokážte, že $|AD|=|CE|$.

Kormidelník si obzeral svoj podiel z najnovšieho lupu. Jeho súčasťou boli aj štyri strieborné mince neznámej meny: jednokoruna, dvojkoruna, trojkoruna a päťkoruna. Kormidelník očakával, že budú vážiť po poradí $1$, $2$, $3$ a $5$ gramov. Od svojich druhov sa však dozvedel, že hmotnosť jednej z nich sa o niečo líši od predpokladanej hmotnosti, hoci ostatné zodpovedajú presne. Ako má kormidelník zistiť pomocou rovnoramenných váh bez závaží, ktorá minca nemá predpovedanú hmotnosť? Na miskách váh sa môžu objaviť iba zmienené mince a kormidelník má z každej hodnoty práve jeden spomínaný kus. Do riešenia napíšte postup, ako má kormidelník vážiť, aby to s istotou zistil.

Súčin piatich prvočísel je šesťciferné číslo v tvare $\overline{ABCABC}$, kde $A$, $B$ a $C$ sú cifry (napríklad číslo $123123$ je v takomto tvare). Zistite hodnotu $A$, $B$ a $C$, ak viete, že jedno z týchto piatich prvočísel je $491$. Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné neexistujú.

Kapitán a dôstojník hrajú hru na plániku $5\times 5$ (kapitán začína). V ťahoch sa striedajú, pričom kapitán vo svojom ťahu vyfarbí jednotkový štvorček (svojou farbou) a dôstojník vyfarbí $3\times 1$ obdĺžnik (svojou farbou). Už zafarbené políčka sa nedajú farbiť znovu. Hra končí, keď dôstojník už nevie urobiť ťah – zvyšné nevyfarbené políčka vtedy zafarbí kapitán. Vyhráva ten z nich, ktorý má na konci hry viac políčok vyfarbených svojou farbou. Rozhodnite, či existuje pre niektorého z nich výherná stratégia.

(Výhernou stratégiou rozumieme návod, ako má hráč hrať, aby vždy vyhral, nech ten druhý hrá akokoľvek.)

Šibenica mala pôdorys v tvare lichobežníka $ABCD$ so základňami $AB$ a $CD$ (ktoré sú rovnobežné), pričom uhlopriečky $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé. Ďalej uhly $BAC$ a $BDC$ boli zhodné. Aritmetický priemer dĺžok základní lichobežníka bol rovný $8$. Aký bol obsah celého lichobežníka $ABCD$?

(Aritmetický priemer dĺžok dvoch strán je ich súčet predelený dvomi.)