1. séria

Po dlhom večeri vo vnútri salónika v tvare štvorca $ABCD$ leží opitý kupec $E$ tak, že trojuholník $DEC$ je rovnostranný. Na hrane $BC$ leží špeh $F$, pričom $|EB|=|EF|$. Aká je veľkosť uhla $CEF$?

U neskrotného diviaka mali pred bitkou tridsať stolov označených prirodzenými číslami $2$ až $31$. Práve dva stoly patrili do salónika. Aby personál pri inventúre zistil, ktoré dva to sú, používal trik. Na dverách salónika bola tabuľka s číslom, ktoré nebolo deliteľné číslami stolov zo salónika, ale číslami všetkých ostatných stolov áno. Okrem toho, čísla stolov v salóniku nasledovali po sebe. Ktoré dve čísla to boli?

Samopočet funguje presne ako kalkulačka. Hostinský chcel na samopočte sčítať niekoľko trojciferných prirodzených čísel. Na prvý pokus dostal výsledok $2224$. Pre kontrolu sčítal tieto čísla znova a vyšlo mu $2198$. Preto sčítal tieto čísla ešte raz a teraz dostal súčet $2204$. Piate pripočítavané číslo zadal totiž vždy nesprávne, lebo pri každom pokuse nestlačil niektorú z jeho cifier dostatočne silno a do samopočtu tak zadal vždy namiesto trojciferného čísla číslo dvojciferné. Žiadne ďalšie chyby pri sčítavaní už nespravil a samopočet taktiež tentokrát fungoval bezchybne. Aký je správny súčet hostinského čísel?

Na špeciálnom stolčeku, ktorý hostinský vyniesol zo zadnej časti kuchyne, bola na pozadí umeleckého stvárnenia niekdajšej križovatky uprostred divočiny vyrezaná mriežka $8\times 9$ políčok. V juhozápadnom rohu (políčko $A1$) leží hrací kameň. Pohybuje sa z políčka na políčko. Na ploche je tiež čierny stĺp, cez ktorý sa nedá pohybovať (ani preskočením). Dvaja hráči sa striedajú v ťahoch kameňom o ľubovoľný počet políčok na východ alebo sever. Víťazom je ten, kto dostane kameň svojím ťahom do cieľa (políčko $H9$). Rozhodnite a odôvodnite, či pre niektorého z hráčov existuje víťazná stratégia. Ak áno, popíšte ju. (Víťazná stratégia je návod, ako má hráč hrať, aby vždy vyhral, nech ten druhý hrá akokoľvek.)

Miestnosť má tvar konvexného štvoruholníka $ABCD$ (to znamená, že všetky jeho vnútorné uhly majú menej ako $180^{\circ }$). Každá stena miestnosti je dvoma stolmi rozdelená na tri rovnako dlhé úseky ako na obrázku (stoly sú $K$, $P$, $L$, $Q$, $M$, $R$, $N$, $S$). Dokážte, že oblasti $KLMN$ a $PQRS$ majú zhodný obsah.

Na cintoríne tvoria hroby políčka mriežky $2019\times 2019$. Na každom z hrobov uvidí okoloidúci ľaliu, gerberu, chryzantému alebo mach (práve jedno z toho). Štvorec z hrobov veľkosti $2\times 2$ vždy zahŕňa každú rastlinu. Dokážte, že niekde na cintoríne existuje rad hrobov $2019\times 1$ alebo $1\times 2019$, ktorý obsahuje iba dva druhy rastlín.