2. séria

V hostinci je $12$ štvorcových stolov so stranami $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $4$, $5$, $5$, $6$. Barón chce mať tieto stoly rozdelené na dve skupiny tak, aby bol v oboch skupinách rovnaký súčet obsahov aj obvodov štvorcov. Dokážte, že túto barónovu požiadavku v tomto hostinci nemožno splniť.

Kým prírodu si obľúbil, kartové hry otcových zazobaných hostí z duše neznášal. V štvorcovej sieti je trojuholník $LES$ ako na obrázku. Určte súčet $|\sphericalangle ZLE|+|\sphericalangle ESO|$.

Lotta má $16$ rokov, Dieter $12$. Pri pozorovaní a obsluhovaní tejto podivuhodnej spoločnosti starých alchymistov si všimli, že ak Lotta pridá svoj vek k vekom alchymistov, tak sa ich priemerný vek zníži o $10$ rokov. Ak sa k Lottinmu veku pridá aj ten Dieterov, tak sa priemerný vek zníži o ďalších $8$ rokov. Aký je priemerný vek spoločnosti alchymistov?

Kornel sa chcel zblížiť so svojimi pisárikmi a svojimi dôstojnými poslucháčmi a to sa najlepšie robí pri riešení spoločného problému. Oznámil im preto: Milé deti, všimol som si, že ak by vás bolo v miestnosti dvakrát viac, ako je teraz, a potom by jedno z vás odišlo, tak by váš počet bol deliteľný počtom učencov, ktorí sú teraz v miestnosti. Rovnako, ak by bol počet učencov v miestnosti dvojnásobný a jeden z nich by potom odišiel, tak by ich počet bol deliteľný počtom detí, ktoré sú teraz v miestnosti. Skúste teraz spoločne nájsť všetky možné počty detí a učencov v miestnosti.

Jednej noci sa Oto chcel zabaviť s Dieterom a tým, čo mu zostalo po otcovi. Zobrali si zo zachovaného voza trhaviny a začali hrať hru. Oto začína a striedajú sa v ťahoch. V každom ťahu si hráč vyberie výbušninu istej sily (z každého druhu majú dostatočne veľa kusov) a vyhodí ňou do povetria aspoň $1$ a najviac $5$ meštianskych domov (podľa sily trhaviny). Hra sa končí po vopred dohodnutom počte ťahov. Dieter vyhrá, ak je počet zničených domov násobkom $9$, inak vyhrá Oto. Nájdite víťaznú stratégiu pre niektorého z hráčov, ak hra končí po:

V háji rastie mnoho stromov a iných rastlín, ktoré pokrývajú štvorec $TRAP$. Na uhlopriečke $AT$ sa nachádza bod $S$, ktorý nie je totožný s bodom $A$, $T$, ani so stredom uhlopriečky $AT$. Ortocentrum (priesečník výšok) trojuholníka $STR$ označme $L$ a trojuholníka $RAS$ ako $N$. Dokážte, že altán $ALTN$ je kosoštvorec.