1. séria

Majme mriežku $3\times 3$, v ktorej sú rozmiestnení pravdovravci a klamári (na každom políčku práve jeden). Pravdovravci vždy hovoria pravdu a klamári vždy klamú. Každý z nich vyslovil vetu: „Na políčkach, ktoré susedia stranou s mojím políčkom, stoja práve dvaja takí, ako ja.“ Ako mohli byť rozmiestnení na mriežke? Nájdite všetky možnosti.

Mória, Arga a Titanika hrali kartovú vojnu pre troch hráčov v niekoľkých kolách. Pred začiatkom hry sa dohodli, koľko bodov bude pre víťaza, druhého a porazeného, pričom body budú rovnaké vo všetkých kolách a všetky body budú celé číslo. Víťazstvo malo samozrejme najvyššie skóre. Porazený získal najnižšie skóre, ale stále aspoň $1$ bod. Arga zvíťazila v druhom kole. Konečné skóre bolo: Mória získala celkovo $20$ bodov, Arga $10$ bodov a Titanika $9$ bodov. Zistite, či táto informácia jasne určuje kto vyhral prvé kolo a koľko bodov získala v poslednom kole Titanika.

Magický kruh je tvorený $13$ kameňmi. V $12$ kameňoch sa nachádza v každom rovnaký počet magických kryštálov a v jednom kameni je o jeden kryštál menej. Pri každom rituáli si môžeme vybrať práve $10$ kameňov, v ktorých vznikne jeden nový kryštál. Ukážte, že vieme vyberať kamene tak, aby sme na konci dostali $13$ kameňov s rovnakým počtom kryštálov. Čo ak by kameňov bolo $14$ a v jednom by bol o jeden kryštál menej?

Runa, ktorú má Harold analyzovať je taký konvexný štvoruholník, čiže každý jeho uhol je menší ako $180^{\circ }$, že každá z uhlopriečok ho delí na dva trojuholníky rovnakého obsahu. Dokážte, že táto runa je rovnobežník.

V tejto dimenzii sa nachádza niekoľko miest, o ktorých platí:

Starček mal $100$ kartičiek s číslami od $1$ do $100$ (na každej kartičke iné číslo). Všetky mu však popadali a našiel len $21$ z nich. Starček chce vybrať $4$ kartičky a umiestniť ich do rovnosti $+=+$ . Bude mať dosť kartičiek na splnenie tejto úlohy, bez ohľadu na to, akých $21$ kartičiek mu ostalo k dispozícii?