1. séria

Pri vstupe do obchodu odovzdal Jumpy všetky svoje peniaze, ktoré mal pri sebe. Pri odchode dostal dvojnásobok odovzdanej sumy, ale potom ešte zaplatil poplatok $24$ peňazí. Takto chvíľu vchádzal a vychádzal z obchodu, až kým pred vstupom nezistil, že už nemá žiadne peniaze. Koľko peňazí mohol mať Jumpy na začiatku? Nájdite všetky riešenia, ak sa dajú mať len celé peniaze (neexistujú žiadne čiastkové peniaze ako napríklad polovičné).

Obdĺžnikový koláč, ktorý vážil 6 kg, si rozdelili traja ľudia. Najprv koláč rozrezali na dva kusy. Potom jeden z týchto kusov znovu rozrezali na dva kusy. Oba tieto rezy boli rovné. Vznikli takto tri trojuholníky, pričom každý človek si zobral jeden. Jeden z nich mal kúsok ťažký aritmetický priemer hmotností zvyšných dvoch. Koľko vážili kúsky koláča, ak viete, že koláč má všade rovnakú konzistenciu?

Požiarny evakuačný plán v tvare päťuholníka $ABCDE$ má všetky strany rovnako dlhé a uhly pri strane $AB$ sú pravé. Bod $X$ je priesečník úsečiek $AD$ a $BE$. Dokážte, že $|DX|=|BX|$.

Multikulti číslo je také číslo, ktoré má všetky cifry navzájom rôzne. Ku každému multikulti číslu vieme vytvoriť itlukitlum číslo tak, že otočíme poradie jeho cifier (napríklad $1357$ na $7531$ alebo $450$ na $54$). Aké najmenšie a aké najväčšie $5$-ciferné číslo môžeme získať sčítaním multikulti a k nemu príslušného itlukitlum čísel?

Pozdĺž kružnice rulety sú napísané v nejakom poradí všetky prirodzené čísla od $1$ do $2020$ (každé práve raz) tak, že sa pri pohybe po kružnici rulety v smere hodinových ručičiek čísla striedavo zväčšujú a zmenšujú (pre ruletu s číslami od 1 do 4 by mohli byť čísla napísané napríklad v poradí 1, 3, 2, 4). Dokážte, že rozdiel niektorých dvoch po sebe idúcich čísel je deliteľný $2$.

Dokážte, že pre každé kladné celé číslo $n$ platí, že súčin prvých $n$ kladných celých čísel je deliteľný súčtom prvých $n$ kladných celých čísel práve vtedy, keď číslo $n+1$ nie je nepárne prvočíslo. (To znamená dokázať dve veci. Ak je súčin deliteľný súčtom, tak $n+1$ nie je nepárne prvočíslo a, ak $n+1$ nie je nepárne prvočíslo, tak súčin je deliteľný súčtom).