2. séria

Na papieriku bol útvar zložený z $2$ štvorcov a rovnostranného trojuholníka. Dokážte, že trojuholník AXZ je rovnostranný.

Piati medojedi: Ahmed, Bartolomed, Ctimed, Demeder a Elizamed sa hádali o počte džbánov medu, ktoré im ostali v zásobe z pôvodných $100$. Každý medojed buď vždy klame alebo vždy hovorí pravdu. Toto sú výroky jednotlivých medojedov:

Zajda a Klára hrajú hru. Najprv Zajda položí na stôl čiernu alebo bielu figúrku. Potom Klára položí čiernu alebo bielu figúrku za tú, ktorá bola na stôl položená naposledy. Takto sa striedajú v pokladaní figúriek na stôl, pričom v rade nemôžu byť $3$ rovnaké figúrky za sebou. Vyhrá tá, ktorá položí do radu deviatu bielu figúrku. Nájdite víťaznú stratégiu pre jednu z nich.

Plánik hry, ktorú Zajda a Klára hrali bol pravidelný $9$-uholník. Klára nakreslí na plánik takú priamku, ktorá neprechádza vrcholom plánika. Následne Zajda dokreslí do plánika všetky uhlopriečky, ktoré Klárinu priamku pretínajú. Ukážte, že počet uhlopriečok pretínajúcich Klárinu priamku je párny, bez ohľadu na to, ako ju Klára nakreslí. Čo ak by plánik bol pravidelný $2019$-uholník? Svoju odpoveď zdôvodnite.

Majme číslo $n$, ktoré má všetky cifry rôzne a zároveň zoradené od najmenšej po najväčšiu. Zistite aký ciferný súčet môže mať číslo $9n$. Nájdite všetky možnosti.

Podľa zasadacieho poriadku sú v sále trojuholníkového tvaru umiestnené dva štvorcové stoly ako na obrázku. Platí, že $E$ je stredom $AB$ a zároveň $C$ je stredom $FG$. Koľkokrát je obsah trojuholníkovej sály ABJ väčší ako obsah štvorcového stola BCDE?