2. séria

Prednedávnom si ešte traja bratia Chulio, Vincenzo a Giovanni Tortelliniovci rozdeľovali rodinné peniaze v pomere $4:5:6$, najmenej dostával mladý Chulio a najviac najstarší Giovanni. Po tom, ako Giovanniho našli mŕtveho vo vlastnej komnate, Chulio navrhol, že si Giovanniho časť rozdelia s Vincenzom na polovice. Vincenzo však trval na tom, aby si aj túto časť rozdelili nerovnomerne ako zvyčajne, teda v pomere $4:5$. Vincenzo by totiž podľa Chuliovho návrhu dostal o $4000$ lýr menej ako podľa svojho. Koľko peňazí má dokopy rodina Tortelliniovcov?

Na maškarné bály v Palazzo di Arcobaleno je každý rok pozvaných $21$ hostí. Na posledných dvoch báloch sa zakaždým rozdelili do troch sál po sedem hostí. Ukážte, že niektorí traja hostia boli na oboch báloch spolu v jednej sále.

Bianca prišla na to, že ju Vincenzo podvádza a tak sa s ním pohádala, že lietali taniere. Konkrétne lietal jeden tanier tvaru konvexného $101$-uholníka. Najprv hodila tanier o zem Bianca a tým ho rozdelila pozdĺž ľubovoľnej uhlopriečky (Bianca aj Vincenzo vedia vždy hodiť tanier tak, aby sa rozdelil pozdĺž nimi zvolenej uhlopriečky) na dva mnohouholníky. Následne Vincenzo zobral zo zeme jeden z črepov tvaru mnohouholníka a znova ho hodom o zem roztrieštil na dva mnohouholníkové črepy pozdĺž ním zvolenej uhlopriečky. Takto striedavo hádžu črepy o zem, pričom hádku prehrá ten, kto už nemôže rozbiť žiaden črep. Kto z nich má vyhrávajúcu stratégiu a akú? Svoju odpoveď zdôvodnite.

Na obrázku vidíte plán Palazzo di Arcobaleno zložený z pravidelných mnohouholníkov. Sála na prízemí tvaru šesťuholníka a jedáleň na prvom poschodí tvaru tmavosivého trojuholníka sú vpísané do tej istej kružnice. Každá z troch rovnakých komnát tvaru modrého trojuholníka má obsah $17$. Určte obsah jedálne.

Pali si do zošita na nočnom stolíku po každej epizóde zapisuje, koľkokrát už Francesca podviedla Chulia. Prvé dve čísla, ktoré napísal sú $1$ a $1$. Každé nasledujúce číslo, ktoré si zapísal, bolo súčinom predchádzajúcich dvoch zvýšeným o $1$. To znamená, že číslo, čo si napísal po tretej epizóde je $1\cdot 1+1=2$. Ukážte, že číslo, čo si napísal po $2020$-tej epizóde, nie je deliteľné číslom 4.

Vo finále 23tej série sa Vincenzo dozvedá, že Bianca ho podviedla a rozhodol sa zavraždiť ju, rovnako ako posla tejto správy -- Chulia. Naháňajú sa teda po obvode kruhovej sály, pričom Vincenzo obehne celú sálu za $360$ sekúnd. Bianca beží dvakrát rýchlejšie ako Vincenzo a Chulio beží trikrát rýchlejšie ako Vincenzo. Začínajú z rovnakého miesta a behajú, pokým sa znovu všetci traja nestretnú na tom istom mieste. Akú dlhú dobu dokopy za tento čas bol trojuholník Vincenzo-Bianca-Chulio ostrouhlý?