1. séria

V Kamirlande vznikol nový tím FírKe. Na tréningu si hráči nahrávajú disk. O FírKe je známe, že na jednom tréningu nehodia disk menej ako $77$-krát ani viac ako $88$-krát. Tiež platí, že na každom tréningu je počet diskov, ktoré hráči chytia, dvakrát väčší ako počet diskov, ktoré hráči nechytia.

Frisbeesti hrajú turnaj vo futbale. Zúčastnili sa tímy Plasto-Kus, FírKe, UpSky a OverLeft a každý tím hral s každým. Za výhru si tím pripíše $3$ body, za remízu $1$ bod a porazený tím nedostane žiadny bod. Poradie sa určilo podľa počtu bodov, v prípade rovnosti bodov rozhoduje vzájomný zápas. V prípade, že zápas skončil remízou, skončil lepšie tím, ktorý dostal menej gólov za celý turnaj. Určte, ako dopadol zápas medzi Plasto-Kusom a FírKe, ak tabuľka na konci turnaja vyzerala takto:

Poradie Názov tímu Skóre Body

Plasto-Kus 7:3 5

FírKe 4:4 4

UpSky 1:1 4

OverLeft 1:5 3

Tréner pripravil pre hráčov na rozcvičku kruhový plánik, ktorý má $12$ stanovísk označených kuželkami očíslovanými od $1$ po $12$. Tréner zakričí číslo $1$ a hráči sa vtedy postavia na stanovisko s číslom $1$. Postupne tréner kričí nasledujúce prirodzené čísla a pri každom čísle sa hráči posunú o jedno stanovisko v kruhu (z dvanásteho idú naspäť na prvé, ale čísla sa ďalej zvyšujú). Vždy, keď je aktuálne zakričané číslo prvočíslo, tak kuželku označujúcu stanovisko vymenia za farebný disk (na stanovisku označenom farebným diskom už nič nemenia). Budú niekedy vymenené všetky kuželky za farebné disky? Ak áno, vysvetlite, ako sa to stane. Ak nie, tak ukážte, ktoré kuželky sa im podarí vymeniť za disk a prečo sa im nepodarí vymeniť tie zvyšné.

Na obrázku máme ihrisko tvorené pravidelným šesťuholníkom s nasledovne vyznačenými uhlopriečkami. Vieme, že jeho vyfarbená časť má obsah $1c{m}^2$. Aký obsah má celý šesťuholník?

Máme $7$ pravých a $7$ falošných diskov, ktoré sú o trochu ľahšie. Máme aj robota, ktorý funguje ako rovnoramenné váhy. Ak mu dáme do dvoch rúk rovnako vážiace disky (alebo skupiny diskov), tak nám to povie. Ak disky (alebo skupiny diskov) v jeho rukách majú rôzne hmotnosti, tak nám povie, v ktorej ruke je ťažší disk (alebo skupina diskov) a zároveň si jeden náhodný disk z ťažšej skupiny vezme ako odmenu. My vyhráme, ak sa nám podarí identifikovať s istotou aspoň jeden pravý disk, ktorý si robot nevzal ako odmenu (nezáleží na tom, o koľko pravých diskov pri tom prídeme). Vieme vyhrať? Ak áno, napíšte ako, ak nie, vysvetlite prečo.

Na frisbee kempe bolo niekoľko hráčov a každý z nich nadiktoval trénerom čísla svojich dresov. Každý dres má na sebe nepárne číslo. Trénerka vynásobila všetky dresové čísla dohromady, odčítala od súčinu jednotku a zapísala si polovicu výsledného čísla. Tréner nevie násobiť veľa čísel, a tak radšej od každého dresového čísla odčítal jednotku a potom ho vydelil dvomi. Dostal tak nový zoznam čísel, v ktorom všetky čísla sčítal a zapísal si výsledok. Ukážte, že čísla, ktoré si tréner a trénerka zapísali, majú rovnakú paritu.