2. séria

Po vytrvalom trénovaní počas leta si chcel tréner svojich hráčov odvážiť, aby zistil, aký pokrok urobili. Stálo pred ním $11$ hráčov, o ktorých vedel, že schudli nasledovne:

Zabudol však, koľko schudol stredný (šiesty) hráč. Koľko to je?

Na turnaj prišlo $35$ hráčov vrátane teba. Medzi niektorými z vás už existujú vzájomné priateľstvá a zároveň každý hráč má aspoň $17$ kamarátov. Skamarátiť sa s nejakým hráčom je možné iba vtedy, ak sa s ním kamaráti už niektorý z tvojich doterajších kamarátov. Ukáž, že sa vieš skamarátiť so všetkými hráčmi.

Na obrázku je nakreslený návrh nových kraťasov. Tie sú tvorené pravidelným šesťuholníkom $ABCDEF$ a dvoma štvorcami $BAXY$ a $CBZT$. Na kraťasoch sú dva vzory $CDPQ$ a $DERS$, ktoré sú tiež štvorce. Ukážte, že $|PS|=|YZ|$.

Na frisbee campe sú pravdovravci a klamári. Všetci pravdovravci hovoria vždy pravdu a všetci klamári vždy klamú. Niektorí pravdovravci sa rozhodli hrať HotBox, podobne niektorí klamári začali hrať discgolf. Ľudia na campe sa združili do rôznych tímov, pričom hráč môže patriť do viacerých tímov. Tímy, ktoré vznikli na frisbee campe, spĺňajú nasledujúce $4$ podmienky:

Ukážte, že na turnaji je aspoň jeden pravdovravec, ktorý nehrá HotBox, a aspoň jeden klamár, ktorý nehrá discgolf. Zistite, či všetci pravdovravci tvoria jeden tím, a toto svoje zdôvodnenie vysvetlite.

Nedávno si si zmenil číslo svojho dresu. Toto číslo $n$ má po delení $3$ zvyšok $2$. Ukáž, že potom existuje prvočíslo $p$, ktoré delí $n$ a tiež má po delení $3$ zvyšok $2$.

Po dlhom dni plnom zápasov sa Marco rozhodol, že si zahrá hru. Nakreslil si rovnostranný trojuholník, ktorý rozdelil na $9$ menších trojuholníkov. V každom malom trojuholníku je napísané číslo $0$. Hra spočíva v tom, že Marco si v každom ťahu vyberie $2$ trojuholníky, ktoré majú spoločnú stranu, a pričíta alebo odčíta rovnaké celé číslo od oboch čísel, ktoré sú v trojuholníkoch napísané. Po nejakom čase si uvedomí, že čísla napísané na $9$ trojuholníkoch sú v nejakom poradí $n$, $n+1$,..., $n+8$, kde $n$ je nezáporné celé číslo. Ukážte, že hodnota $n$ môže byť len $0$ alebo $2$ (nemusíte ukazovať, že to pre tieto hodnoty môže nastať).