1. séria

Na túru prišlo aspoň $5$ detí (aspoň $1$ chlapec a aspoň $1$ dievča). Niektorí chlapci sa s niektorými dievčatami zvítali objatím. Všetky dvojice, ktoré sa neobjali, si iba podali ruky. Môžeme ľudí rozdeliť do dvoch skupín tak, aby ani v jednej skupine neboli dve deti, ktoré si spolu podali ruku? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Tri horolezkyne Adel, Bia a Lujza rady lezú. Dve stále lezú a jedna ich istí. Tá, ktorá z dvojice vylezie na kopec ako prvá, na ďalšom kopci istí a tá, čo istila, ide liezť. Po vylezení všetkých kopcov zistili, že Adel liezla dokopy $12$-krát, Bia liezla dokopy $21$-krát a Lujza $8$-krát istila. Ktorá z horolezkýň vyliezla ako prvá na šiesty kopec?

Máme stan so štvorcovým pôdorysom $ABCD$. Doň si Mihál položil jednu topánku (označme ju $P$) tak, aby trojuholník $ABP$ bol rovnostranný. Druhú topánku (označme ju $Q$) si však zabudol pred stanom tak, že trojuholník $ADQ$ je rovnostranný. Dokážte, že body $P$, $Q$ a $C$ ležia na jednej priamke.

Dano má konzervu tvaru rovnobežníka $ABCD$. V akom pomere rozdeľuje priamka prechádzajúca vrcholom $A$ a stredom strany $CD$ uhlopriečku $BD$?

Dano a Mihál na túre hrali nasledovnú hru: Mihál povedal kladné celé číslo a Dano ho musel zapísať ako súčet niekoľko po sebe idúcich kladných celých čísel. Ak sa mu to podarilo, vyhral. Pri akých číslach vie Dano vyhrať?

Spišo bol už hladný a tak sa rozhodol, že sa posilní čokoládou. Čokoláda má tvar štvorcovej mriežky s rozmermi $k\times k$. Spišo z nej začne vyjedať po jednom políčku. Nájdite najmenšie prirodzené číslo $n$ také, že ak Spišo zje z čokolády $n$ políčok, tak budú s istotou existovať $3$ zjedené políčka, ktorých stredy tvoria pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny sú rovnobežné so stranami štvorcovej čokolády.