1. séria

Nefertiti stratila účtovnú knihu a chcela zistiť, koľko peňazí minula za posledný mesiac. Nepamätala si konkrétnu sumu, ale vedela o nej povedať následovné:

Nefertiti si kúpila obraz, ktorého rám bol trojuholník zložený z paličiek. Paličky mali dĺžky $a,b,c$, pričom $a<b<c$. Následne každú z paličiek rozdelila na polovicu, čím jej vzniklo 6 kratších paličiek. Z týchto kratších paličiek chce vybrať 3, ktoré budú tvoriť strany nového trojuholníka.

Koľko najmenej a koľko najviac navzájom rôznych trojuholníkov môže vedieť z týchto 6 paličiek poskladať? (Paličky rovnakej dĺžky považujeme za identické.) Nezabudnite dokazáť, že menej alebo viac rôznych trojuholníkov nemôže vedieť poskladať.

Veštica Hatsuk mala víziu. Nebola si istá, či je pravdivá, a preto si ju chcela overiť. Vo vízii videla celé kladné číslo, ktoré má práve $10$ celých kladných deliteľov, pričom tieto delitele majú navzájom rôzne posledné cifry. Existuje nejaké takéto číslo? Ak áno, nájdi všetky čísla s touto vlastnosťou. Ak nie, prečo?

Kupec potreboval očíslovať svojich $14$ tiav. Chcel ich očíslovať celými kladnými číslami idúcimi za sebou, kde každé z týchto čísel je deliteľné aspoň jedným z čísel $2,3,5,7,11$. Vedel ich takto očíslovať? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Strýko Tutanchamon si dal postaviť záhradu v tvare trojuholníka $KLM$, v ktorom ležia body $A$ a $B$ na stranách $KL$ a $KM$ tak, že trojuholníky $KLM$, $MLA$ a $LBM$ sú podobné. Dokážte, že ak sú priamky $LM$ a $AB$ rovnobežné, tak trojuholník $ABK$ je rovnoramenný.

Nefertiti a Tutanchamon si v záhrade zahrali hru. Hrali ju na šachovnici s rozmerom $m\times n$, kde $m$ aj $n$ sú kladné celé čísla. Hru začína Nefertiti a zafarbí ľubovoľné políčko. Potom vždy hráč, ktorý je na ťahu, zafarbí nejaké ešte nezafarené políčko, ktoré s posledným zafarbeným políčkom susedí stranou. Prehráva ten, kto už nevie urobiť žiaden ťah. Kto z nich má víťaznú stratégiu v závislosti od $(m,n)$? Ako táto stratégia vyzerá?