2. séria

Astronomička Astarte pozorovala hviezdy, keď zrazu uvidela zvláštny útvar. Tvoril ho trojuholník $ABC$ taký, že veľkosť uhla pri vrchole $A$ bola $80$ stupňov. Os tohto uhla preťala stranu $BC$ v bode $D$ a dĺžka $AD$ bola 7. Aká je dĺžka strany $AC$, ak výška z bodu $C$ na stranu $AB$ zviera so stranou $CB$ 60 stupňov?

V hlavnom paláci sa mení podlaha. Máme sadu tromina – dlaždice sú tvorené tromi štvorčekovými dielikmi zlepenými na stranách buď do tvaru písmena L, alebo do tvaru písmena I. Naším cieľom je tieto dlaždice poskladať tak, aby tvorili štvorce. Najviac koľko štvorcov s rôznymi dĺžkami strán môžeme naraz postaviť s použitím najviac $1000$ dlaždíc?

Stavitelia pyramídy sa rozhodli podpísať sa do hrobky svojimi obľúbenými číslami. Prvý staviteľ napísal žltou kriedou prirodzené trojciferné číslo tvorené navzájom rôznymi nenulovými ciframi. Potom druhý staviteľ na hrobku bielou kriedou vypísal všetky ďalšie trojciferné čísla, ktoré možno získať zmenou poradia cifier žltého čísla. Potom podčiarkol každé číslo, ktoré bolo menšie ako žlté číslo. Podčiarknuté čísla boli práve tri a ich aritmetický priemer bol $205$. Aritmetický priemer všetkých čísiel na hrobke bol $370$. Určite hodnotu žltého čísla.

Na večierok na Níle prišlo niekoľko párov, pričom pár vždy tvoril muž a žena. Hlavný bubeník spočítal, koľkými rôznymi spôsobmi mohol tancovať nejaký muž s nejakou ženou a výsledok zapísal na papyrus. Potom spočítal, koľkými spôsobmi mohli tancovať spolu nejaké dve osoby rovnakého pohlavia a výsledok zapísal na papyrus. Po chvíli z večierku odišli 3 páry a hlavný bubeník postup zopakoval. Takto boli na papyruse napísane 4 čísla, pričom jedno z nich bolo 100. Aké boli zvyšné 3 čísla? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že žiadne iné nie sú.

Tanečnica Olympia si dala vytetovať trojuholník $ABC$. Na strane $BC$ ležia body $D$ a $E$ tak, že $|BD|=|CE|$. Označme $M$ stred úsečky $AD$. Dokážte, že priamka $ME$ vždy prechádza ťažiskom trojuholníka $ABC$, bez ohľadu na polohu bodov $D$ a $E$.

Dokážte, že ak je na štvorcovom námestí so stranou dlhou $35$ kilometrov ľubovoľne umiestnených $51$ ľudí, potom možno niektorých troch spomedzi nich pokryť kruhom s polomerom 5 kilometrov.