2. séria

Ohnisko tvaru obdĺžnika $ABCD$ má stranu $AB$ dlhú $3$ stopy a stranu $BC$ dlhú $1$ stopu. Bod $E$ je vzdialený pol stopy od úsečky $CD$, leží mimo obdĺžnika $ABCD$ a $|CE|=|DE|$. Aká je veľkosť uhla $AEB$?

U Nea na narodeninovej oslave sú chlapci a dievčatá a každý s každým sa buď pozná, alebo nepozná (je to vzájomné). Vieme, že na oslave je $12$ chlapcov a každý z nich pozná práve $6$ dievčat. Tiež vieme, že každé dievča pozná rovnaký počet chlapcov ako ostatné dievčatá. Koľko je na oslave dievčat? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že iné nie sú.

Kožušina z mamuta má tvar štvoruholníka. Veľkosti uhlov štvoruholníka sú čísla zložené z cifier $a,b,c,d$ ako na obrázku. Nájdite všetky možné veľkosti uhlov a vysvetlite, prečo iné veľkosti uhlov nevyhovujú. Obrázok je iba ilustračný.

Tálec s Anderom sa zamýšľali nad domácou úlohou z matematiky. Hľadali všetky prvočísla, ktoré sa nedali zapísať ako súčet dvoch zložených čísel. Pomôžte im ich nájsť a dokážte, že žiadne ďalšie neexistujú.

Neo si zvolil nejaké číslo $k$. Následne k jaskynnej stene prišiel Tálec a napísal nejakých $k+2$ rôznych kladných celých čísel. Dokážte, že medzi číslami na stene sa určite nachádza buď dvojica čísel s rozdielom deliteľným $2k$, alebo dvojica čísel so súčtom deliteľným $2k$.

Hrot Anderovho oštepa je tvaru trojuholníka $ABC$, kde dĺžka úsečky $AC$ je $12$ palcov a veľkosť uhla $ACB$ je $120$ stupňov. Os tohto uhla pretína stranu $AB$ v bode $D$. Taktiež vieme, že $|AE|=|EC|=|CB|$, kde $E$ je stred strany $AC$. Koľko palcov má úsečka $CD$? Dĺžku je potrebné vyjadriť presne, a teda bez pomoci rysovania.