1. séria

Zvýraznené časti zadania boli upresnené 25.2.2024 Artemis a Boreas vymysleli hru s kladnými celými číslami od $1$ do $n$. V hre sa striedajú v ťahoch, a to tak, že v každom ťahu si hráč zoberie jedno z ešte nevybratých čísel. Artemis, ktorá začína, vyhrá, ak bude mať pri sebe na konci dve čísla, ktorých súčin je $n+1$, inak vyhrá Boreas. Ktorý hráč má vyhrávajúcu stratégiu? (Vyhrávajúca stratégia je postup, podľa ktorého hráč vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.)

Aténa zoslala Pytagorovi úlohu: „Na číselnej osi sú zaznačené body $x,$ $2x-2$ a $3x$ (viete, ktorý bod prislúcha ktorému číslu). Nájdi body 0 a 1.” Ako to mohol Pytagoras spraviť, keď mohol použiť iba kružidlo a pravítko bez mierky?

Okolo Herkula stálo v kruhu 17 príšer, z ktorých každá mala iný počet hláv z rozmedzia od 1 do 17. Dokážte, že každé takéto usporiadanie musí mať najmenej jednu skupinu troch susedných príšer, ktoré majú spolu aspoň 27 hláv.

Zeus sa rád pozerá na Zem cez okno. Okno má tvar štvorca, ktorého vrcholy ležia na stranách päťuholníka tak, ako na obrázku. Vrcholy päťuholníka zase ležia na stranách šesťuholníka tak, ako na obrázku. Päťuholník má všetky vnútorné uhly rovnakej veľkosti a aj šesťuholník má všetky vnútorné uhly rovnakej veľkosti. Zistite súčet uhlov $\alpha +\beta +\gamma +\delta$.

Počty bohov jednotlivých elementov sú postupne rôzne prvočísla $l$, $m$, $n$, $t$ také, že $2\cdot l+3\cdot m+5\cdot n+7\cdot t=162$ a zároveň $11\cdot l+7\cdot m+5\cdot n+4\cdot t=162$. Nájdite všetky možné hodnoty pre $l$, $m$, $n$, $t$. (Prvočíslo je číslo, ktoré má práve dvoch deliteľov - číslo 1 a seba samé.)

Dar bohom mal tvar mozaiky s rozmermi $20\times 47$. Mozaika sa skladala z ľubovoľne otočených alebo prevrátených dielikov iónskeho, dórskeho a korintského typu nasledujúcich tvarov: Koľko najmenej dielikov dórskeho typu bolo v mozaike použitých?