2. séria

aptembra $19XX$ Nalodili sme sa do ponorky. Jaj, konečne vietor v plachtách! I keď vlastne plachty nemáme, lebo sme v ponorke. Ale keby sme ich mali, boli by tvaru rovnoramenného lichobežníka $ABCD$ so základňami $AB$ a $CD$, v ktorom by platilo, že $|AB|>|CD|$. Na strane $CD$ by ležal bod $E$ tak, že trojuholník $ACE$ by bol rovnoramenný so základňou $AC$ a $AED$ by bol rovnoramenný so základňou $AE$. Trojuholník $ABC$ by bol tiež rovnoramenný, so základňou $BC$. No počkať, ale potom aký veľký by bol uhol $CAE$?

aptembra $19XX$ Náš palubný kartograf Peťo sa trocha zamotal. Pamätal si pár informácií, no nie presné číslo priamych ciest vedúcich medzi naším mestom a Atlantídou, naším mestom a dokmi a medzi Atlantídou a dokmi. Vedel ale, že z nášho mesta sa do dokov vieme dostať $11$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez Atlantídu a do Atlantídy $13$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez doky. Zároveň vedel, že medzi každou dvojicou miest vedie aspoň jedna priama cesta. Koľko existuje priamych ciest medzi jednotlivými miestami? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné neexistujú.

aptembra $19XX$ Heuréka! Veže bájnej Atlantídy sa mi týčia v zornom poli. "Vitajte! Ja som morský Vilo," privítal nás muž so žiabrami namiesto uší, keď sme vystúpili z ponorky. Pozval nás na partiu tzv. atlantického pokra, ktorý hrá $2023$ hráčov usadených v kruhu. V hre sa nachádza $4046$ hracích kariet, z každej hodnoty od $1$ do $2023$ práve dva kusy. Každý hráč začína s dvomi kartami rôznych hodnôt. V každom ťahu vyberie každý hráč nižšiu z dvoch kariet, čo má na ruke a pošle ju hráčovi po pravej ruke. Dokážte, že po niekoľkých ťahoch tejto hry nastane, že aspoň jeden z hráčov bude mať v ruke dve karty rovnakej hodnoty.

aptembra $19XX$ Miestni obyvatelia nám chceli ukázať, že sú múdrejší než my, tak si vytvorili test, z ktorého sa dalo získať $0$ až $15$ bodov. Spolu sa ho napokon podrobilo $9000$ ľudí. Nastal ale istý... incident. Po bezpečnostnej kontrole sa záznamy z testu zmenili. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $1,2$ alebo $3$ sa zmenili na skóre $0$. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $12,13$ alebo $14$ sa zmenili na skóre $15$. Hodnotiaca komisia si incident všimla kvôli tomu, že priemerné skóre kleslo presne o desatinu bodu. Predseda komisie tvrdil, že pôvodne existovali dve rôzne hodnoty skóre, pre ktoré platí, že počty ľudí s danými skóre sa líšia aspoň o $150$. Má pravdu?

aptembra $19XX$ Dnes sme boli pozvaní na audienciu k starostovi Atlantídy. Erb Atlantídy má tvar lichobežníka $ABCD$ pričom platí, že $AB$ je rovnobežná s $CD$ a $|AB|=2\cdot |CD|$. Daný je bod $P$ v strede strany $AB$ a bod $Q$ na strane $BC$. Obsah trojuholníka $PBQ$ je 3 a obsah celého lichobežníka je 18. Nech $R$ je priesečník úsečiek $PC$ a $QD$. Aký je obsah trojuholníka $RQC$?

aptembra $19XX$ Trhové námestie Atlantídy je vydláždené čiernymi a bielymi dlaždicami tak, ako šachovnica $8\times 8$. Na námestí bolo rozmiestnených $8$ strážcov tak, že v každom riadku a stĺpci bol iba jeden. Dokážte, že na čiernych dlaždiciach námestia je párny počet strážcov.