1. séria

Aradin a Tymiána hrajú hru, v ktorej je $5$ kariet s číslami od $1$ do $5$, každé práve raz. Každý z nich si potiahne jednu kartu s číslom, ktorú vidí len on sám. Po potiahnutí kariet prebehla nasledujúca diskusia:

Abum si z koberca vyrezal štvorec $ABCD$ so stranou dlhou $\text{SI}8cm$. Stred strany $AB$ si označil ako $E$ a následne zo štvorca odstrihol trojuholník $BCE$. V novovzniknutom útvare si označil stred strany $CE$ ako $F$ a z útvaru odstrihol trojuholník $CDF$. Napokon si označil stred strany $DF$ ako $G$ a z útvaru odstrihol trojuholník $EFG$. Vypočítajte obsah výsledného útvaru, ktorý Abum získal.

Obchodník na trhu predáva vajcia v košíkoch. Na predaj sú košíky s vajciami v počtoch od $1$ do $10$ a na začiatku dňa je na stole práve jeden košík z každého počtu. Každé vajce je buď bielej, alebo hnedej farby (v jednom košíku však môžu byť vajcia oboch farieb). Na trh postupne prišli traja zákazníci a každý z nich si kúpil práve $1$ košík, pričom:

Na poličku s mriežkou $8\times 8$ ukladáme magické lampy tvaru $1\times 2$ tak, aby platilo, že ak je nejaké políčko zakryté lampou, tak políčko vpravo od neho a políčko pod ním nie je zakryté inou lampou. Koľko najviac lámp môžeme takto na mriežku poličky položiť?

Na každom vrchole pohoria stojí človek s nejakým počtom lietajúcich kobercov. Kobercov je spolu $3360$. Všetci sa naraz zbavia kobercov tak, že rozpošlú svoje koberce svojim susedom, každému rovnako veľa (čiary v obrázku znázorňujú susednosti vrcholov). Po výmene kobercov má každý človek rovnako veľa kobercov ako na začiatku. Koľko kobercov môže mať človek v strede pohoria? Nájdite všetky možnosti.

Na plachte používanej na trhovisku tvaru mnohouholníka $A_1{A}_2\dots A_n$ ofarbíme každú stranu a uhlopriečku načerveno alebo namodro tak, že strany $A_1{A}_2$ a $A_2{A}_3$ budú červené a strana $A_3{A}_4$ a všetky uhlopriečky vedúce z vrcholu $A_3$ budú modré. Navyše platí, že pri každom takomto ofarbení existuje aspoň $49$ dvojfarebných trojuholníkov, pričom existuje aj ofarbenie, pri ktorom ich je práve $49$. Nájdite všetky možné hodnoty $n$.