2. séria

Na gobelíne tvaru štvoruholníka $ABCD$ existuje na strane $AD$ bod $M$ taký, že trojuholníkové výšivky $MCD$ a $MAB$ sú rovnostranné. Dokážte, že uhlopriečky tohto gobelínu sú rovnako dlhé. Úlohu neriešte meraním.

Na stene sú napísané čísla $1,2,3,\dots ,673$. Aradin a Bafar striedavo zmazávajú čísla, až kým na tabuli neostanú len $2$ čísla. Aradin začína. Ak je súčet posledných dvoch čísel deliteľný $8$, vyhráva Aradin, ak nie, vyhráva Bafar. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého hráč vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Magická Anábia sa vyznačuje tým, že každý jej obyvateľ má priradené kladné celé číslo. Zároveň každý pozná len svoje číslo a nepozná číslo ostatných. Traja kamaráti Aradin, Tymiána a Džinus išli jedného dňa za vševedomým zrkadlom, ktoré im prezradilo, že súčet ich čísel je $100$. Potom postupne povedali:

Tymiána si do piesku napísala tri rôzne prirodzené čísla a označila si ich $a$, $b$, $c$. Následne zistila, že všetky tieto $3$ čísla sú prvočísla a aj všetky $3$ rozdiely medzi týmito číslami po dvojiciach sú prvočísla. Aké čísla mohla Tymiána napísať na tabuľu? Nájdite všetky možnosti.

Do každého riadku tabuľky $9\times 9$ vyšitej na koberci zapíšeme jednu z cifier od $1$ do $9$ v poradí tak, že v prvom stĺpci začneme ľubovoľnou cifrou a potom do stĺpca napravo píšeme stále číslicu o $1$ väčšiu, ale po $9$ píšeme $1$ (napr. v riadku môžu byť zaradom čísla $7$, $8$, $9$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$). Tabuľka je úžasná, ak v každom riadku, v každom stĺpci aj na každej najdlhšej diagonále (z rohu do rohu tabuľky) je napísané $9$-ciferné číslo, ktoré je deliteľné číslom $9$. Koľko rôznych úžasných tabuliek existuje?

Lichobežníková šatka $ABCD$ je taká, že $|AB|=\text{SI}8cm$, $|CD|=\text{SI}4cm$ a súčet veľkostí uhlov $DAB$ a $CBA$ je $90°$. Zistite, akú vzdialenosť môžu mať medzi sebou stredy základní $AB$ a $CD$. Úlohu neriešte meraním.