1. séria

Turnaja v dvojhre v tenise vo Vranove nad Topľou sa zúčastnili chlapci a dievčatá tak, že každý hral s každým práve raz a žiaden zápas sa neskončil remízou. Zistilo sa, že každý účastník prehral aspoň jeden zápas a zároveň každý chlapec prehral iný počet zápasov ako každý iný chlapec. Dokážte, že existuje dievča, ktoré vyhralo zápas s chlapcom.

V autobuse do Sabinova cestovalo $35$ cestujúcich na sedadlách očíslovaných od $1$ do $35$ (každé sedadlo iným číslom). Každý z týchto ľudí buď vždy klame, alebo vždy hovorí pravdu. Každý z nich povedal, že počet pravdovravcov medzi cestujúcimi je deliteľom dvojnásobku čísla jeho sedadla. Koľko najviac pravdovravcov môže byť medzi cestujúcimi?

Vedľa hlavnej cesty v Medzilaborciach zahliadol pán Cestovateľ obraz Andyho Warhola, ktorý bol tvaru rovnostranného trojuholníka $ABC$. Na jeho stranách $AB$, $BC$ a $CA$ sú zvolené body $D$, $E$ a $F$ (v tomto poradí) tak, aby $DE\parallel AC$ a $DF\parallel BC$. Nájdite menší uhol medzi priamkami $AE$ a $BF$.

Pýcha Giraltoviec - barokový kaštieľ - pána Cestovateľa natoľko zaujala, že chcel zistiť, koľko má rokov. Richtár mu o jeho veku povedal:

Koľko najviac z týchto výrokov môže byť naraz pravdivých? A koľko rokov má barokový kaštieľ, ak jeho vek je najmenšie číslo také, že spĺňa najväčší možný počet pravdivých výrokov?

Pán Cestovateľ chce rozdeliť pozemok v Michalovciach tvaru štvorca $6\times 6$ na štvorpolíčkové a päťpolíčkové úseky rovnaké ako tie na obrázku (pričom ale môžu byť oproti nim ľubovoľne otočené či preklopené). Nájdite všetky možné dvojice počtov týchto úsekov, na ktoré sa dá pozemok rozdeliť.

V Klokočove pri Zemplínskej Šírave si pán Cestovateľ nakreslil do piesku konvexný štvoruholník $ABCD$, v ktorom platí $|AB|=|BC|=|CD|$. Ďalej si označil stredy strán $AB$, $BC$ a $CD$ postupne $M$, $N$ a $O$. Po búrke mu však ostali nakreslené už iba body $M$, $N$ a $O$. Popíšte spôsob, akým vie pán Cestovateľ nakresliť späť pôvodný štvoruholník $ABCD$, ak má k dispozícii len pravítko bez mierky a rysky a kružidlo.