2. séria

Na tabuli na mestskom úrade v Strážskom boli napísané čísla $1,2,3,\dots ,235$. Pán Cestovateľ ich niekoľko vymazal. Ukázalo sa, že zo zostávajúcich čísel nebolo žiadne deliteľné rozdielom ľubovoľných dvoch ďalších. Aký najväčší počet čísel mohol na tabuli zostať?

Vo Svidníku sa konajú majstrovstvá vo volejbale. Celkovo sa ich zúčastňuje $20$ tímov a každý tím hrá presne $5$ zápasov s $5$ rôznymi súpermi. Každý tím má priradené jedinečné číslo a tím s vyšším číslom vždy vyhráva hru.

　a. Aký je najmenší počet tímov, ktoré môžu byť na konci majstrovstiev neporazené?

　b. Aký je najväčší počet tímov, ktoré môžu byť na konci majstrovstiev neporazené?

Nezabudnite dokázať, že menší, resp. väčší, počet neporazených tímov nemôže byť a ukázať konkrétny príklad rozpisu s daným minimom, resp. maximom.

V Bardejove si žiaci v škole cez prestávku nakreslili tabuľku s $8$ riadkami a $5$ stĺpcami. Žiaci Adela a Braňo do jej políčok striedavo kreslia krížiky a krúžky. Adela v jednom ťahu nakreslí dva krížiky (ak zostalo už len jedno voľné políčko, nakreslí do nej iba jeden krížik). Braňo v jednom ťahu nakreslí jeden krúžok. Začína Adela. Hra sa končí po zaplnení celej tabuľky. Ak existuje aspoň jeden riadok vyplnený iba krížikmi, vyhráva Adela. V opačnom prípade vyhráva Braňo. Ktorý zo žiakov môže mať zaručené víťazstvo? Čo ak by riadkov bolo $7$?

V Snine si pán Cestovateľ kúpil dve rovnaké sady kameňov s číslami $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. Chcel by všetkých 16 sninských kameňov rozložiť do kruhu tak, aby medzi kameňmi s rovnakými číslami bolo presne toľko kameňov (napr. medzi kameňmi s číslami 4 by boli presne 4 kamene).

　a. Vie ich tak rozložiť?

　b. Čo ak by kameňov bolo 20 s číslami 0 až 9?

Strecha Stropkovskej strednej školy má tvar trojuholníka $ABC$. Označíme bod $D$ ako stred strany $AB$ a bod $E$ na strane $BC$ tak, že $|BE|=2|EC|$. Určte veľkosť uhla $BAC$ ak viete, že uhly $BAE$ a $ADC$ sú rovnako veľké.

Námestie v Humennom má tvar štvorcovej šachovnice nepárnych rozmerov. Na strednom políčku sedí šváb. Pán Cestovateľ chce švába zabiť a v každom ťahu hodí kamienok na nejaké políčko (nemusí mieriť priamo na políčko, kde sa práve nachádza). Počas letu každého kamienka šváb prebehne na ľubovoľné susedné políčko (susedné spoločnou stranou). Ak kamienok dopadne na políčko so švábom, šváb zomrie. Ak kamienok dopadne na prázdne políčko, šváb na toto políčko už nikdy nesmie vstúpiť. Ak sú všetky susedné políčka, na ktoré by mohol prejsť, už zablokované kamienkami, šváb zostáva na mieste. Akonáhle sa šváb dostane na okraj šachovnice, pán Cestovateľ oň stratí záujem a prestane hádzať kamienky. Nájdite najmenší rozmer šachovnice, pri ktorom môže zaručene švába zabiť.