Hexakles si na pergamen načrtol šesťuholník \(GRECKO\) a následne doň vpísal kružnicu tak, že sa dotýka každej zo 6 strán šesťuholníka. Zistite obvod \(GRECKO\), ak \(|GR|=6\), \(|EC|=7\) a \(|KO|=8\).

Maxisigmos má dve rôzne nezáporné reálne čísla \(x\) a \(y\), ktoré spĺňajú 

 \(x+\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\). Nájdite maximálnu hodnotu súčtu Maxisigmových čísel.

Herkules sa snaží zabiť hydru. Hydra má niekoľko hláv a každá z hláv má na sebe kladné celé číslo. Herkules môže vždy odseknúť práve jednu hlavu, a podľa toho, aké číslo má táto hlava na sebe, sa udeje jedna z udalostí:

- ak má hlava číslo \(2n\), po jej odseknutí hydre narastú \(2\) hlavy, každá s číslom \(n\),
- ak má hlava nepárne prvočíslo, po jej odseknutí sa nestane nič,
- inak po odseknutí hlavy narastie hlava s číslom o \(1\) väčším, ako bolo najväčšie číslo na niektorej z hláv pred týmto odseknutím.


Dokážte, že pre každú hydru s konečným počtom hláv existuje konečná postupnosť seknutí, pomocou ktorých Herkules odsekne všetky hlavy a tento postup popíšte.

Series má dané kladné celé číslo \(k\) a uvažuje postupnosť reálnych čísel \(\{a_n\}_0^\infty\) takú, že \(a_0=0\) a \(a_{n}=ka_{n-1}+\sqrt{(k^2-1)a_{n-1}^2+1}\) pre všetky kladné celé čísla \(n\). Dokážte, že každý člen postupnosti je nezáporné celé číslo a \(a_{2n}\) je deliteľné číslom \(2k\) pre všetky kladné celé čísla \(n\).

Aténske záhrady majú tvar rôznostranného trojuholníka \(ATE\), v ktorom \(N\) je stred kružnice vpísanej a \(Y\) stred kružnice opísanej. Dokážte, že uhol \(ANY\) je menší alebo rovný \({90}^\circ\) práve vtedy, keď \(2|TE| \le |AT| + |AE|\).

Triolivus si najprv zvolil celé číslo \(n\) väčšie alebo rovné 3 a následne nakreslil v rovine \(n\) priamok tak, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri sa nepretínajú v jednom bode. Za každý rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne prienikom troch týchto priamok, zje tri olivy. Za každý rovnoramenný, ale nie rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne z troch priamok, zje jednu olivu. Aký najväčší počet olív vedel Triolivus zjesť v závislosti od \(n\)?

Poradie