Ratiotos má dve kladné celé čísla \(a\) a \(b\), pre ktoré platí 
\(30a + 30b = ab\). Akú najväčšiu možnú hodnotu môže mať súčet Ratiotových čísel?

Škvrna od vína má tvar kružnice so stredom \(S\). Úsečka \(PQ\) je jej dotyčnicou, bod dotyku označme \(A\), ktorý sa nachádza medzi \(P\) a \(Q\). Nech \(B\) je prienik priamky \(PS\) a kružnice taký, že \(S\) leží medzi \(P\) a \(B\).  Multiplianglos si všimol, že veľkosť uhla \(APB\) v stupňoch je kladné celé číslo a veľkosť uhla \(BAQ\) v stupňoch je jeho \(k\)-násobok, pričom \(k\) je tiež kladné celé číslo. Akú najväčšiu hodnotu môže mať \(k\)?

Číslo nazývame olivové ak je v tvare \(p^6 - 14p^2 + 13\), pričom \(p\) označuje prvočíslo, ktoré je väčšie ako 7. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa všetkých olivových čísel.

Hedronos má pravidelný dvanásťsten, ktorého 20 vrcholov označil rôznymi kladnými celými číslami. Vertesigmos každú z hrán označil číslom \(|a - b|\), kde a a b sú čísla vo vrcholoch hrany. Označme \(k\) najväčšiu hodnotu na hrane. Aké najmenšie \(k\) mohol Vertesigmos dosiahnuť?

Podlaha chrámu je mriežka, ktorá má \(r\) riadkov a \(s\) stĺpcov, pričom \(r < s\), a je pokrytá \(1 \times 1\) dlaždicami. Sparťania pri poslednom útoku na chrám poškodili niektoré dlaždice, a to tak, že v každom stĺpci je poškodená aspoň jedna. Dokážte, že existuje aspoň jedna taká poškodená dlaždica, že riadok, v ktorom sa nachádza, má dokopy viac poškodených dlaždíc ako stĺpec, v ktorom sa nachádza.

Strecha chrámu má pri pohľade zhora tvar trojuholníka \( ABC \) s pravým uhlom pri vrchole \(C\). Bod \( D \) leží vo vnútri trojuholníka \( ABC \) a na kružnici so stredom v bode \( B \), ktorá prechádza bodom \( C \). Bod \( E \) leží na strane \( AB \) tak, že \( |\angle DAB| = |\angle BDE| \). Kružnica so stredom v bode \( A \), ktorá prechádza bodom \( C \), pretína priamku prechádzajúcu bodmi \( D \) a \( E \) v bode \( F \), kde bod \( E \) leží medzi bodmi \( D \) a \( F \). Dokážte, že \( |\angle AFE| = |\angle EBF| \).

50. ročník - letný semester