Ratiotos má zlomok v základnom tvare \(\frac{x}{y}\), ktorý vie zapísať tiež v tvare \(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\), kde \(n\) je kladné celé číslo, pričom platí, že \(x+y=2025\). Aká je hodnota \(x\)?

Chordilikus si nakreslil trojuholník \(ABC\) s pravým uhlom pri vrchole \(C\). Body \(D\) a \(Z\) ležia na strane \(AB\) tak, že \(CD\) je kolmé na \(AB\) a \(|AC|=|AZ|\). Polpriamka, ktorá rozdeľuje uhol \(BAC\) na polovicu, pretína stranu \(CB\) v bode \(X\) a úsečku \(CZ\) v bode \(Y\). Dokážte, že štvoruholník \(BXYD\) je tetivový. Tetivový štvoruholník je taký štvoruholník, ktorému sa dá opísať kružnica, čo je práve vtedy, keď súčet protiľahlých uhlov je \(180^\circ\).

Gréci postavili chrám tvaru kocky \(1000\times1000\times1000\). Každá z jeho šiestich stien je úplne pokrytá štvorcovými kachličkami \(1\times1\). Architektos chce umiestniť do chrámu stĺpy tvaru hranola \(1\times1\times1000\) tak, aby spĺňali nasledovné podmienky:


1) Podstavy stĺpu sa zhodujú s kachličkami ležiacimi na protiľahlých stenách chrámu (pre stĺp teda existuje \(3\cdot 1000^2\) možných pozícií).
2) Každá zo stien stĺpu sa dotýka steny chrámu alebo iného stĺpu (dotyk hranami sa nepočíta).

Aký je najmenší kladný počet stĺpov, ktorý vie Architektos umiestniť do chrámu?

Okolo okrúhleho stola je rovnomerne rozmiestnených \(2n\) Grékov, pričom \(n\) z nich sú filozofi a \(n\) sú vojaci. Filolistus si zapísal vzdialenosti medzi každou dvojicou filozofov do zoznamu, od najkratšej po najdlhšiu. Vojalistus si zapísal vzdialenosti medzi každou dvojicou vojakov do iného zoznamu, tiež od najkratšej po najdlhšiu. Rovnaká vzdialenosť sa môže v zozname vyskytovať viackrát. Dokážte, že Filolistov a Vojalistov zoznam sú rovnaké.

Podzemná vinica má tvar štvoruholníka \(VINO\), v ktorom strany \(VI\), \(IN\) a \(NO\) sú zhodné a veľkosti uhlov \(VIN\) a \(INO\) sú postupne \(85^\circ\) a \(155^\circ\). Aká je veľkosť uhla \(IVO\)?

Series má postupnosť takú, že \(a_n = \frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2}\) pre všetky kladné celé \(n\), kde \(x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi rovnice \(x^2-x-1=0\). Nájdite všetky kladné celé čísla \(k\) a \(l\), \(k<l\), pre ktoré platí, že \(l\) delí \(a_n-2n \cdot k^n\) pre všetky kladné celé čísla \(n\).

UPJS

9. ročník ZŠ | Kvarta | 1. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium

2. ročník SŠ | Sexta | 3. ročník 5-ročného gymnázia

4. ročník SŠ | Oktáva | 5. ročník 5-ročného gymnázia

1. ročník SŠ | Kvinta | 2. ročník 5-ročného gymnázia

Poradie