Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Ak si nevieš poradiť s niektorou z úloh, pozri sipár tipov.
Hexakles si na pergamen načrtol šesťuholník GRECKO a následne doň vpísal kružnicu tak, že sa dotýka každej zo 6 strán šesťuholníka. Zistite obvod GRECKO, ak ∣GR∣=6, ∣EC∣=7 a ∣KO∣=8.
2. ÚLOHA
Maxisigmos má dve rôzne nezáporné reálne čísla x a y, ktoré spĺňajú
x+y=x+y. Nájdite maximálnu hodnotu súčtu Maxisigmových čísel.
3. ÚLOHA
Herkules sa snaží zabiť hydru. Hydra má niekoľko hláv a každá z hláv má na sebe kladné celé číslo. Herkules môže vždy odseknúť práve jednu hlavu, a podľa toho, aké číslo má táto hlava na sebe, sa udeje jedna z udalostí:
ak má hlava číslo 2n, po jej odseknutí hydre narastú 2 hlavy, každá s číslom n,
ak má hlava nepárne prvočíslo, po jej odseknutí sa nestane nič,
inak po odseknutí hlavy narastie hlava s číslom o 1 väčším, ako bolo najväčšie číslo na niektorej z hláv pred týmto odseknutím.
Dokážte, že pre každú hydru s konečným počtom hláv existuje konečná postupnosť seknutí, pomocou ktorých Herkules odsekne všetky hlavy a tento postup popíšte.
4. ÚLOHA
Series má dané kladné celé číslo k a uvažuje postupnosť reálnych čísel {an}0∞ takú, že a0=0 a an=kan−1+(k2−1)an−12+1 pre všetky kladné celé čísla n. Dokážte, že každý člen postupnosti je nezáporné celé číslo a a2n je deliteľné číslom 2k pre všetky kladné celé čísla n.
5. ÚLOHA
Aténske záhrady majú tvar rôznostranného trojuholníka ATE, v ktorom N je stred kružnice vpísanej a Y stred kružnice opísanej. Dokážte, že uhol ANY je menší alebo rovný 90∘ práve vtedy, keď 2∣TE∣≤∣AT∣+∣AE∣.
6. ÚLOHA
Triolivus si najprv zvolil celé číslo n väčšie alebo rovné 3 a následne nakreslil v rovine n priamok tak, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri sa nepretínajú v jednom bode. Za každý rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne prienikom troch týchto priamok, zje tri olivy. Za každý rovnoramenný, ale nie rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne z troch priamok, zje jednu olivu. Aký najväčší počet olív vedel Triolivus zjesť v závislosti od n?