1. séria

Ratiotos má dve kladné celé čísla $a$ a $b$, pre ktoré platí $30a+30b=ab$. Akú najväčšiu možnú hodnotu môže mať súčet Ratiotových čísel?

Škvrna od vína má tvar kružnice so stredom $S$. Úsečka $PQ$ je jej dotyčnicou, bod dotyku označme $A$, ktorý sa nachádza medzi $P$ a $Q$. Nech $B$ je prienik priamky $PS$ a kružnice taký, že $S$ leží medzi $P$ a $B$. Multiplianglos si všimol, že veľkosť uhla $APB$ v stupňoch je kladné celé číslo a veľkosť uhla $BAQ$ v stupňoch je jeho $k$-násobok, pričom $k$ je tiež kladné celé číslo. Akú najväčšiu hodnotu môže mať $k$?

Číslo nazývame olivové ak je v tvare $p^6-14p^2+13$, pričom $p$ označuje prvočíslo, ktoré je väčšie ako 7. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa všetkých olivových čísel.

Hedronos má pravidelný dvanásťsten, ktorého 20 vrcholov označil rôznymi kladnými celými číslami. Vertesigmos každú z hrán označil číslom $|a-b|$, kde a a b sú čísla vo vrcholoch hrany. Označme $k$ najväčšiu hodnotu na hrane. Aké najmenšie $k$ mohol Vertesigmos dosiahnuť?

Podlaha chrámu je mriežka, ktorá má $r$ riadkov a $s$ stĺpcov, pričom $r<s$, a je pokrytá $1\times 1$ dlaždicami. Sparťania pri poslednom útoku na chrám poškodili niektoré dlaždice, a to tak, že v každom stĺpci je poškodená aspoň jedna. Dokážte, že existuje aspoň jedna taká poškodená dlaždica, že riadok, v ktorom sa nachádza, má dokopy viac poškodených dlaždíc ako stĺpec, v ktorom sa nachádza.

Strecha chrámu má pri pohľade zhora tvar trojuholníka $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$. Bod $D$ leží vo vnútri trojuholníka $ABC$ a na kružnici so stredom v bode $B$, ktorá prechádza bodom $C$. Bod $E$ leží na strane $AB$ tak, že $|\angle DAB|=|\angle BDE|$. Kružnica so stredom v bode $A$, ktorá prechádza bodom $C$, pretína priamku prechádzajúcu bodmi $D$ a $E$ v bode $F$, kde bod $E$ leží medzi bodmi $D$ a $F$. Dokážte, že $|\angle AFE|=|\angle EBF|$.