MalynárMatikStrom

Zadania

Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá -
Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá - Séria je uzavretá -
Ak si nevieš poradiť s niektorou z úloh, pozri sipár tipov.
Poradie

1. ÚLOHA

Majme ostrouhlý trojuholník ABCABC s najdlhšou stranou ACAC. Zostrojte na tejto strane bod DD taký, že os uhla ADBADB bude rovnobežná so stranou BCBC. Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

2. ÚLOHA

Martin a Robka hrajú hru v tabuľke 1×20251\times{2025}. Martin si najprv na papier napíše niekoľko kladných celých čísel. Robka vloží mincu do jedného z políčok. V každom ťahu si Martin vyberie číslo, ktoré má napísané na papieri - o toľko políčok sa pokúsi Robka posunúť mincu buď doľava, alebo doprava (podľa svojho rozhodnutia, ale ak je možné mincu presunúť, presunie ju, inak ostáva na nezmenenej pozícii). Koľko najmenej čísel si Martin musí napísať na papier, aby vedel zaistiť, že minca navštívi všetky políčka bez ohľadu na to, akým spôsobom hrá Robka?

3. ÚLOHA

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla nn platí, že počet deliteľov čísla nn končiacich cifrou 11 alebo 99 je rovnaký alebo väčší ako počet deliteľov čísla nn končiacich cifrou 33 alebo 77.

4. ÚLOHA

Pre každé kladné celé číslo kk väčšie ako 11 nech p(k)p(k) je najväčší prvočíselný deliteľ čísla kk. Dokážte, že existuje nekonečne veľa celých čísel nn väčších ako 22 takých, že (p(n+1)p(n))(p(n)p(n1))>0.\bigl(p(n+1)-p(n)\bigr)\bigl(p(n)-p(n-1)\bigr)>0.

5. ÚLOHA

Nech kk je pevná kružnica so stredom SS a polomerom rr. Nech BB a CC sú dva rôzne pevné body na kk. Nech AA je pohyblivý bod na kk, odlišný od BB a CC. Nech PP je bod taký, že stred úsečky SPSP je AA. Priamka prechádzajúca bodom SS a rovnobežná s priamkou ABAB pretína priamku prechádzajúcu bodom PP a rovnobežnú s priamkou ACAC v bode DD.
  1. Dokážte, že keď sa bod AA pohybuje po kružnici kk (okrem bodov BB a CC), bod DD leží na pevnej kružnici, ktorej polomer je väčší alebo rovný rr.
  2. Dokážte, že rovnosť v časti a. nastane práve vtedy, keď je úsečka BCBC priemerom kružnice kk.

6. ÚLOHA

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla x<yx < y platí yyxx(yx)(yx)>y!x!(yx)!>yyxx(yx)(yx)(y+1).\frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}} > \frac{y!}{x!(y-x)!} > \frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}(y+1)}.
UPJS