MalynárMatikStrom

Zadania

Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Ak si nevieš poradiť s niektorou z úloh, pozri sipár tipov.
Pravidlá

1. ÚLOHA

Hexakles si na pergamen načrtol šesťuholník a následne doň vpísal kružnicu tak, že sa dotýka každej zo 6 strán šesťuholníka. Zistite obvod , ak , a .

2. ÚLOHA

Maxisigmos má dve rôzne nezáporné reálne čísla a , ktoré spĺňajú . Nájdite maximálnu hodnotu súčtu Maxisigmových čísel.

3. ÚLOHA

Herkules sa snaží zabiť hydru. Hydra má niekoľko hláv a každá z hláv má na sebe kladné celé číslo. Herkules môže vždy odseknúť práve jednu hlavu, a podľa toho, aké číslo má táto hlava na sebe, sa udeje jedna z udalostí:
  • ak má hlava číslo , po jej odseknutí hydre narastú hlavy, každá s číslom ,
  • ak má hlava nepárne prvočíslo, po jej odseknutí sa nestane nič,
  • inak po odseknutí hlavy narastie hlava s číslom o väčším, ako bolo najväčšie číslo na niektorej z hláv pred týmto odseknutím.
Dokážte, že pre každú hydru s konečným počtom hláv existuje konečná postupnosť seknutí, pomocou ktorých Herkules odsekne všetky hlavy a tento postup popíšte.

4. ÚLOHA

Series má dané kladné celé číslo a uvažuje postupnosť reálnych čísel takú, že a pre všetky kladné celé čísla . Dokážte, že každý člen postupnosti je nezáporné celé číslo a je deliteľné číslom pre všetky kladné celé čísla .

5. ÚLOHA

Aténske záhrady majú tvar rôznostranného trojuholníka , v ktorom je stred kružnice vpísanej a stred kružnice opísanej. Dokážte, že uhol je menší alebo rovný práve vtedy, keď .

6. ÚLOHA

Triolivus si najprv zvolil celé číslo väčšie alebo rovné 3 a následne nakreslil v rovine priamok tak, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri sa nepretínajú v jednom bode. Za každý rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne prienikom troch týchto priamok, zje tri olivy. Za každý rovnoramenný, ale nie rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne z troch priamok, zje jednu olivu. Aký najväčší počet olív vedel Triolivus zjesť v závislosti od ?
UPJS