Zadania

Hexakles si na pergamen načrtol šesťuholník $GRECKO$ a následne doň vpísal kružnicu tak, že sa dotýka každej zo 6 strán šesťuholníka. Zistite obvod $GRECKO$, ak $|GR|=6$, $|EC|=7$ a $|KO|=8$.

Maxisigmos má dve rôzne nezáporné reálne čísla $x$ a $y$, ktoré spĺňajú $x+\sqrt{y}=\sqrt{x}+y$. Nájdite maximálnu hodnotu súčtu Maxisigmových čísel.

Herkules sa snaží zabiť hydru. Hydra má niekoľko hláv a každá z hláv má na sebe kladné celé číslo. Herkules môže vždy odseknúť práve jednu hlavu, a podľa toho, aké číslo má táto hlava na sebe, sa udeje jedna z udalostí:

Dokážte, že pre každú hydru s konečným počtom hláv existuje konečná postupnosť seknutí, pomocou ktorých Herkules odsekne všetky hlavy a tento postup popíšte.

Series má dané kladné celé číslo $k$ a uvažuje postupnosť reálnych čísel $\{a_n{\}}_0^{\infty }$ takú, že $a_0=0$ a $a_n=k{a}_{n-1}+\sqrt{(k^2-1)a_{n-1}^2+1}$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že každý člen postupnosti je nezáporné celé číslo a $a_{2n}$ je deliteľné číslom $2k$ pre všetky kladné celé čísla $n$.

Aténske záhrady majú tvar rôznostranného trojuholníka $ATE$, v ktorom $N$ je stred kružnice vpísanej a $Y$ stred kružnice opísanej. Dokážte, že uhol $ANY$ je menší alebo rovný ${90}^{\circ }$ práve vtedy, keď $2|TE|\le |AT|+|AE|$.

Triolivus si najprv zvolil celé číslo $n$ väčšie alebo rovné 3 a následne nakreslil v rovine $n$ priamok tak, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri sa nepretínajú v jednom bode. Za každý rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne prienikom troch týchto priamok, zje tri olivy. Za každý rovnoramenný, ale nie rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne z troch priamok, zje jednu olivu. Aký najväčší počet olív vedel Triolivus zjesť v závislosti od $n$?