MalynárMatikStrom

Zadania

Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 - Termín série: 27.10.2025 23:59 -
Ak si nevieš poradiť s niektorou z úloh, pozri sipár tipov.
Pravidlá

1. ÚLOHA

Hexakles si na pergamen načrtol šesťuholník GRECKOGRECKO a následne doň vpísal kružnicu tak, že sa dotýka každej zo 6 strán šesťuholníka. Zistite obvod GRECKOGRECKO, ak GR=6|GR|=6, EC=7|EC|=7 a KO=8|KO|=8.

2. ÚLOHA

Maxisigmos má dve rôzne nezáporné reálne čísla xx a yy, ktoré spĺňajú
x+y=x+yx+\sqrt{y}=\sqrt{x}+y. Nájdite maximálnu hodnotu súčtu Maxisigmových čísel.

3. ÚLOHA

Herkules sa snaží zabiť hydru. Hydra má niekoľko hláv a každá z hláv má na sebe kladné celé číslo. Herkules môže vždy odseknúť práve jednu hlavu, a podľa toho, aké číslo má táto hlava na sebe, sa udeje jedna z udalostí:
  • ak má hlava číslo 2n2n, po jej odseknutí hydre narastú 22 hlavy, každá s číslom nn,
  • ak má hlava nepárne prvočíslo, po jej odseknutí sa nestane nič,
  • inak po odseknutí hlavy narastie hlava s číslom o 11 väčším, ako bolo najväčšie číslo na niektorej z hláv pred týmto odseknutím.
Dokážte, že pre každú hydru s konečným počtom hláv existuje konečná postupnosť seknutí, pomocou ktorých Herkules odsekne všetky hlavy a tento postup popíšte.

4. ÚLOHA

Series má dané kladné celé číslo kk a uvažuje postupnosť reálnych čísel {an}0\{a_n\}_0^\infty takú, že a0=0a_0=0 a an=kan1+(k21)an12+1a_{n}=ka_{n-1}+\sqrt{(k^2-1)a_{n-1}^2+1} pre všetky kladné celé čísla nn. Dokážte, že každý člen postupnosti je nezáporné celé číslo a a2na_{2n} je deliteľné číslom 2k2k pre všetky kladné celé čísla nn.

5. ÚLOHA

Aténske záhrady majú tvar rôznostranného trojuholníka ATEATE, v ktorom NN je stred kružnice vpísanej a YY stred kružnice opísanej. Dokážte, že uhol ANYANY je menší alebo rovný 90{90}^\circ práve vtedy, keď 2TEAT+AE2|TE| \le |AT| + |AE|.

6. ÚLOHA

Triolivus si najprv zvolil celé číslo nn väčšie alebo rovné 3 a následne nakreslil v rovine nn priamok tak, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri sa nepretínajú v jednom bode. Za každý rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne prienikom troch týchto priamok, zje tri olivy. Za každý rovnoramenný, ale nie rovnostranný trojuholník, ktorý vznikne z troch priamok, zje jednu olivu. Aký najväčší počet olív vedel Triolivus zjesť v závislosti od nn?
UPJS