Okolo okrúhleho stola sedí \(2n\) Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od \(n\) môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca \(ABCD\). Lumomoros chce postaviť maják v bode \(M\) a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník \(AMN\) s pravým uhlom pri vrchole \(M\) a bod \(N\) ležal na strane \(CD\). Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel \(\{a_n\}_1^\infty\) takú, že \(a_1=3\) a \(a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1\) pre všetky kladné celé čísla \(n\). Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou \(f(x)=x^2 - 33x + 19\). Nájdite všetky celé čísla \(n \ge 2\), pre ktoré práve jedno z čísel \(f(1),f(2),\dots,f(n)\) je deliteľné číslom \(n\).

Eset

Nadácia Eset

33. ročník - letný semester