Kopy vybral päť deliteľov čísla $6^{2027}$. Dokážte, že Oliver vie z nich vybrať dva, ktorých súčin je druhou mocninou celého čísla.

Iľo napísal na tabuľu reálne číslo. Potom postupne ku každému číslu $x$ na tabuli napísal čísla $1-x$ a $\dfrac{1}{x}$, pokiaľ sú definované a ešte na tabuli neboli napísané. Skončil, keď už nebolo možné napísať žiadne nové číslo. Koľko čísel mohlo byť na konci na tabuli? Určte všetky možnosti.

V rovine je daných $220$ priamok vo všeobecnej polohe (teda takých, že žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom a žiadne dve nie sú rovnobežné). Tieto priamky rozdelia rovinu na oblasti. Vzdialenosť medzi dvoma oblasťami definujeme ako najmenší počet priamok, ktorý musíme prekročiť, aby sme sa dostali z jednej oblasti do druhej (cez priesečníky sa nedá prechádzať). Oblasť nazveme *zvedavou*, ak jej vzdialenosť od každej inej oblasti je menšia ako $220$. Určte všetky možné počty *zvedavých* oblastí.

Evka na tabuľu napísala červenou fixkou $100$ rôznych kladných celých čísel. Potom pod každé číslo napísala zelenou fixkou to isté číslo, ale zväčšené o najväčšieho spoločného deliteľa zvyšných $99$ červených čísel. Určte, koľko najviac rovnakých zelených čísel mohla Evka napísať.

Dokážte, že ak funkcia $f: \mathbb{Z^+} \rightarrow \mathbb{Z^+}$ spĺňa nasledujúce dve podmienky, potom je $f$ ohraničená zhora, teda existuje číslo, ktoré nepresiahne žiadna hodnota funkcie $f$.

+ Pre ľubovoľné kladné celé číslo $n$ platí, že $f(n)$ delí $n+2026$.
+ Pre ľubovoľné kladné celé čísla $a>b$ platí, že $f(a)$ delí $f(ab)$.

Nech $ABC$ je trojuholník s $|\angle BAC |=120\text{\textdegree}$ a $|\angle ABC|=40\text{\textdegree}$. Ďalej $I$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$. Priesečník priamok $AI$ a $BC$ označme $D$ a priesečník $BI$ s $AC$ označme $E$. Bod $N$ je taký, že $|NE|=|ND|$ a $|\angle END|=120\text{\textdegree}$, pričom $N$&nbsp;a $A$ ležia v opačných polrovinách určených priamkou $DE$. Nech $\omega$ je kružnica so stredom $N$&nbsp;a polomerom $|ND|$. Dotykové body dotyčníc vedených z bodu $B$ na kružnicu $\omega$ označme $P$ a $Q$. Dokážte, že priamky $PQ$, $DE$ a&nbsp;$CI$ sa pretínajú v&nbsp;jednom bode.

Dôvera

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Wincent

1. ročník SŠ | Kvinta | 2. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium

4. ročník SŠ | Oktáva | 5. ročník 5-ročného gymnázia

2. ročník SŠ | Sexta | 3. ročník 5-ročného gymnázia

3. ročník SŠ | Septima | 4. ročník 5-ročného gymnázia

Bilingválne gymnázium Milana Hodžu

Gymnázium sv. Edity Steinovej

Gymnázium Jána Adama Raymana

Evanjelické gymnázium Jána Ámosa Komenského

Stredná priemyselná škola technická

Súkromné gymnázium FUTURUM

Spojená škola

Gymnázium Hansa Selyeho s vjm - Selye János Gimnázium

Gymnázium Jiřího Gutha-Jarkovského

Iná škola

9. ročník ZŠ | Kvarta | 1. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium ako organizačná zložka Spojenej školy

Gymnázium Františka Víťazoslava Sasinka

Gymnázium Jána Papánka

8. ročník ZŠ | Tercia

Malostranské gymnázium

51. ročník - zimný semester