1. séria

V poslednej dobe nadobudol veľkú popularitu japonský hlavolam SUDOKU. Klasické sudoku je tabuľka veľkosti $9\times 9$ rozdelená na 9 štvorcov veľkosti $3\times 3$, pričom v niektorých políčkach tabuľky sú vpísané čísla od 1 po 9. Takúto tabuľku nazvime zadanie. Úlohou je doplniť do všetkých ostatných políčok čísla od 1 po 9 tak, aby v každom stĺpci, riadku, štvorci $3\times 3$ bolo každé číslo práve raz. Takto vyplnenú tabuľku nazvime riešením daného zadania.

Uvažujme menšie a jednoduchšie sudoku: Tabuľku veľkosti $4\times 4$ rozdelenú na 4 štvorce veľkosti $2\times 2$ chceme vyplni číslami od 1 po 4 tak, aby v každom riadku, každom ståpci, každom štvorci $2\times 2$ bolo každé èíslo práve raz. a) Koľko existuje všetkých možných riešení takéhoto sudoku $4\times 4$? b) Nájdite také zadanie sudoku veľkosti $4\times 4$, v ktorom sú vpísané len 4 čísla, a pritom má jediné riešenie. c) Dokážte, že ak zadanie sudoku $4\times 4$ má jediné riešenie, tak sú v òom už vpísané aspoň 4 čísla (alebo ekvivalentne: dokážte, že ak sú zadané najviac tri čísla, tak také sudoku buď nemá riešenie, alebo má viac ako jedno riešenie).

Jožko si raz dlhú chvíľu v škole krátil tým, že sa snažil vyplni tabuľku $5\times 5$ štvorčekov útvarmi z obrázku, (pričom ich mohol ľubovoľne otočiť alebo prevrátiť, nesmeli sa však prekrývať) Okamžite prišiel na to, že sa mu minimálne 1 políčko musí zvýši. Nie vždy to však bolo to isté políčko. Viete Jožkovi povedať, ktoré políčka to môžu by? b) Ferko si všimol Jožkovu zábavku a hneď ju začal riešiť. Keďže sa mu Jožkova úloha zdala príliš ľahká, tak on si zobral ľubovoľnú tabuľku $n\times n$ štvorčekov. Koľko políčok sa najmenej Ferkovi zvýši? Ktoré políčka to môžu byť? Svoje tvrdenia nezabudnite poriadne zdôvodniť.

a) Paľko si do zošita píše postupnosti čísel. Začne celým číslom 0, a potom k nemu pripočíta nejaké prirodzené číslo $a$. Potom znova pripočíta $a$, a znova, a znova. Paľkova postupnos teda vyzerá takto: $0,a,2a,3a,4a,\dots$ Jožko si zvolil prirodzené číslo $b$ a do zošita si začal písa zvyšky Paľkových čísel po delení číslom $b$ (presne v tom istom poradí, v akom mal napísané èísla Paľko). Ukážte, že bez ohľadu na to, aké čísla si chlapci zvolia, bude od istého miesta Jožkova postupnosť obsahovať presne tie isté čísla, ako na začiatku (teda je periodická). b) Aj Samko si začal písať do zošita čísla, ale namiesto sčítania nasobí a namiesto nuly začína jednotkou. Takže jeho postupnosť vyzerá takto: $1,a,a^2,a^3,\dots$ Mirko si myslí, že keï si zvolí hocijaké prirodzené číslo $b$, začnú sa zvyšky Samkových čísel po delení číslom $b$ tiež od istého miesta opakovať. Má Mirko pravdu? c) Pani uciteľka si všimla hru chlapcov, a povedala: "Nech $P(x)$ je lubovoľný polynóm s celočíselnými koeficientami. Vytvorme postupnosť čísel

Čo viete o takejto postupnosti povedať?" Dežko si hneď všimol, že nech si zvolí hocijaké prirodzené číslo $b$, zvyšky jednotlivých členov tejto postupnosti po delení číslom $b$ tvoria periodickú postupnosť. Dokážte, že Dežko má pravdu.

Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s priesečníkom výšok $V$. a) Označme $V_a$, $V_b$, $V_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v osových súmernostiach podľa strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že body $V_a$, $V_b$, $V_c$ ležia na kružnici opísanej trojuholníku $ABC$. b) Označme $U_a$, $U_b$, $U_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v stredových súmernostiach podľa stredov strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že body $U_a$, $U_b$, $U_c$ ležia na kružnici, ktorej polomer je rovnaký ako polomer kružnice opísanej trojuholníku $ABC$. c) Označme $U_a$, $U_b$, $U_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v stredových súmernostiach podľa stredov strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že trojuholníky $U_a{U}_b{U}_c$ a $ABC$ sú zhodné.