2. séria

Dada dostala v Nórsku úžasnú kalkulačku. Ak zadáte prirodzené èíslo $n$ a stlačíte tlačidlo označené symbolom $\ast$, v kalkulačke to zarachotí a na displeji sa objaví prirodzené èíslo, nazvime ho $n^{\ast }$. Dada s pomocou slovníka a návodu na použitie kalkulačky zistila, že s číslom $n$ sa deje toto: Prirodzené číslo $n$ sa prevedie do dvojkovej sustavy. Počet jednotiek a počet núl (za prvou jednotkou) v získanom čísle sa zväčší o jedna. Získané dve čísla sa spolu vynásobia, výsledný súčin sa objaví na displeji. Napríklad 13 ($8+4+1$) v dvojkovej sústave je $1101$, takže $13^{\ast }$ je $(3+1)(1+1)$ čiže 8. Keď zadáme $8=1000_2$, kalkulačka vyráta $8^{\ast }=(1+1)(3+1)$, čiže op仝 8. a) Zistite $2008^{\ast }$. b) Zistite, pre koľko prirodzených čísel $n$ (vrátane 2008) platí $n^{\ast }=2008^{\ast }$. c) Zistite, pre koľko prirodzených čísel $n$ platí $n^{\ast }=n$. Ktoré sú to čísla?

Majme trojuholník $ABC$. Nech $P$ je priesečník osi uhla $BAC$ a osi strany $BC$. Ďalej nech body $K$, $L$, $M$ sú postupne päty kolmíc z bodu $P$ na priamky $AB$, $BC$, $CA$. Dokážte, že a) trojuholníky $PKB$ a $PMC$ sú podobné, b) štvoruholník $ABPC$ je tetivový, c) body $K$, $L$, $M$ sú kolineárne.

Fibonacciho postupnosť $(F_n)$ je definovaná vzťahom $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pre $n\ge 1$ a počiatočnými hodnotami $F_1=1$, $F_2=1$. a) Dokážte, že existuje Fibonacciho číslo deliteľné číslom 2008. b) Existuje aritmetická postupnosť, ktorá neobsahuje žiadne Fibonacciho číslo?

Daný je ostrouhlý trojuholník $ABC$ s priesečníkom výšok $V$. a) Dokážte, že kružnice opísané trojuholníkom $ABV$, $BCV$, $CAV$ sú zhodné. b) V rovine sú dane tri zhodné kružnice prechádzajúce bodom $H$. Označme priesečníky dvojíc týchto kružníc $A$, $B$, $C$ (tieto body su rôzne od bodu $H$). Dokážte, že bod $H$ je ortocentrom trojuholníka $ABC$. c) Daná je kružnica $k$ a jej tetiva $AB$. Po jednom z oblúkov tejto kružnice sa pohybuje bod $C$ rôzny od bodov $A$ a $B$. Po akej dráhe sa pohybuje priesečník výšok trojuholníka $ABC$?