1. séria

V krajine STROMovo je každé mesto spojené leteckými linkami s nanajvýš tromi inými mestami. Všetky letecké linky sú obojsmerné. Z ľubovoľného mesta sa vieme do ľubovoľného iného mesta dosta lietadlom s nanajvýš jedným prestupom. Koľko najviac miest môže by v tejto krajine?

Ak si myslíte, že správna odpoveï je $325$, Vaše riešenie by malo obsahova nielen ukážku toho, že $325$ miest je možných, ale aj zdôvodnenie, že viac miest by v krajine nemôže.

Danka a Janka hrajú na šachovnici s veľkosou $5\times 5$ hru, pri ktorej sa striedajú v ťahoch. Tá, ktorá je na ťahu, zakryje dve ešte nezakryté políčka šachovnice kúskom domina veľkosti $2\times 1$ (resp. $1\times 2$). Prehráva hráčka, ktorá nemôže urobiť ťah. Pod dĺžkou (ukončenej) hry rozumieme počet ťahov, ktoré sa uskutočnili. Aká najdlhšia a aká najkratšia hra sa dá zahrať pri takýchto pravidlách? Nezabudnite uviesť okrem príkladu najdlhšej hry aj dôvody, pre ktoré žiadna iná hra nemôže by dlhšia. Podobne pre najkratšiu možnú hru.

Daný je trojuholník $ABC$. Uvažujme bod $P$, ktorý leží v trojuholníku $ABC$ na osi strany $AB$. K nemu zostrojíme body $Q$ a $R$ ležiace mimo trojuholníka $ABC$ tak, aby trojuholníky $BQC$ a~$CRA$ boli podobné s trojuholníkom $APB$.

a) Nájdite všetky body $P$ také, že body $P$, $Q$, $C$, $R$ ležia na priamke. b) Predpokladajme, že body $P$, $Q$, $C$, $R$ neležia na priamke. Dokážte, že potom vytvárajú rovnobežník. V časti a) nestačí len nájsť tieto body. Treba aj zdôvodniť, prečo iné body nevyhovujú.

Majme štyri navzájom rôzne kladné reálne èísla. Dokážte, že z nich vieme vybra tri čísla a označiť ich $a$, $b$, $c$ tak, že rovnice $a{x}^2+x+b=0$ (s neznámou $x$), $b{y}^2+y+c=0$ (s neznámou $y$) a~$c{z}^2+z+a=0$ (s neznámou $z$) buď všetky majú reálny koreň, alebo žiadna z nich nemá reálny koreň.