2. séria

a) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu. b) Nájdite všetky trojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.

a) Dokážte, že pre všetky $k>1$ existuje $k$-tica prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu. b) Rozhodnite, pre ktoré $k>1$ existuje $k$-tica navzájom rôznych prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.

V rovine je daná priamka $p$ a bod $C$, ktorý na nej neleží. Po priamke $p$ sa pohybuje úsečka $AB$ pevnej dľžky $d$.

a) Zostrojte trojuholník $ABC$, ak okrem daného bodu $C$, priamky $p$ a dľžky $d$ poznáte veľkosť polomeru $R$ kružnice opísanej trojuholníku $ABC$. b) Pre ktorú polohu úsečky $AB$ má trojuholník $ABC$ najväčší obsah? c) Pre ktorú polohu úsečky $AB$ má kružnica vpísaná do trojuholníka $ABC$ najväčší polomer? V úlohách b) a c) treba nájsť všetky také polohy a zdôvodniť, prečo sú to len tie a žiadne iné.

V rovine je daná priamka $p$ a bod $C$, ktorý na nej neleží. Po priamke $p$ sa pohybuje úsečka $AB$ pevnej dľžky $d$. a) Po akej dráhe sa pohybuje priesečník výšok $V$ trojuholníka $ABC$? b) Po akej dráhe sa pohybuje ťažisko $T$ trojuholníka $ABC$? c) Zostrojte trojuholník $ABC$, ak je daná dľžka úsečky $AB$, vzdialenosť bodu $C$ od priamky $AB$ a súčin dĺžok ťažníc z vrcholov $A$ a $B$. V úlohách a) a b) treba podrobne popísať, do ktorých bodov roviny sa môže uvažovaný bod ($V$, resp. $T$) dostať pri pohybe úsečky $AB$. Nezabudnite zdôvodniť, že sú to všetky také body, teda že do iných bodov sa uvažovaný bod dostať nemôže.}