2. séria

Vedúci STROMu si boli zase zahrať frisbee. Proti nim hral tím konkurenèného seminára, preto nechceli nič necha na náhodu a hľadali najlepšie postavenie. Najprv sa postavili na jednu čiaru Dávid a Feri. Rovnobežne s nimi, ale o niečo ďalej sa postavili Jakub s Katkou. Čiže tvorili štvoruholník $DFJK$. Pričom sa im podarilo postavi tak, že $DJ$ je kolmé na $FK$. Na priesečník priamok $DJ$ a $FK$ sa postavil Lučko ($L$). Marek a Robo sa postavili na polpriamky $LD$ a $LF$ tak, že platí $\angle DRJ=\angle FMK=90$. O súperovi sme sa na poslednú chvíľu dozvedeli, že pre neho je neprekonateľná obrana, ktorá spľňa nasledujúce podmienky: a) Trojuholnik $LMR$ je podobný s trojuholnikom $LFD$ b) Štvoruholník $JKMR$ je tetivovy. c) Spojnica stredu úsečky $MR$ a bodu $L$ je kolmá na priamku $DF$.Nech $V$ je stred úsečky $MR$. Overte a dokážte, že naše rozostavenie tvorí obranu neprekonateľnú pre tím konkurenčného seminára

Tomáš s Kubom uzatvárali stávky, kto čo všetko možné dokáže. Kubo dal Tomášovi 70 prirodzených čísel menších ako 200. Ak Tomáš dokáže z nich vybra dve čísla $a$ a $b$ tak, že ich rozdiel bude jedno z čísel: 4, 5 alebo 9 , tak Kubo mu dá do čaju cukor. V opačnom prípade mu dá do čaju soľ. Dokážte, že Tomáš môže mať sladký čaj a nie slaný.

Katka má rada prvočísla. Stále sa s nimi hrá a experimentuje. Naposledy jej Dávid zadal, aby našla všetky také prirodzené čísla $n$ a $p$, že čísla $p$, $p+2$, $2^n+p$ a $2^n+p+2$ budú prvočísla. Katke sa to nedarilo a tak vypísala súťaž, že každému kto nájde všetky dá pusu. Chcete by medzi nimi aj vy??? Tak nájdite všetky také $n$ a $p$.

Každé pekné dievča, ktoré v poslednom období Tomáš a Vlado stretli ospevovalo filmy s pirátom Jackom Sparrowom a pritom si ich vôbec nevšímalo. Tak sa Tomáš s Vladom jedného dòa rozhodli, že sa z nich stanú piráti. Obidvaja si postavili lode a spravili si preteky na mori (ktoré považujeme za rovinu). Vietor bol celý deò stály, teda obidve lode sa stále pohybovali rovnakou rýchlosťou a obidve stále udržovali svoj smer. O $9:00$ boli od seba lode vzdialené $20$ km, o $9:35$ boli vzdialené $15$ km a o $9:55$ to bolo $13$ km. Pre ich budúcu pirátsku karieru, bolo najdôležitejšie zistiť kedy je najlepší moment pre streľbu z kanónov. Viete pre nich zisti kedy boli lode najbližšie a koľko km boli vzdialené?