1. séria

Slepý Kleofáš má na stole 100 mincí, z ktorých je jedna otočená lícom hore a zvyšné sú otočené rubom hore. Kleofáš hmatom nerozozná rub od líca, môže však mince presúva a otáča}. Raz k nemu zostúpil dobrý anjel a ponúkol mu, že ak rozdelí mince na dve kôpky tak, aby bol v každej kôpke rovnaký počet mincí otočených lícom hore, prinavráti mu stratený zrak. Ako môže Kleofáš získa stratený zrak? A čo v prípade, že na začiatku bolo zo 100 mincí 20 otočených lícom hore?

Ukážte, že rovnica $15x^2-7y^2=9$ nemá žiadne celočíselné riešenie.

Je daný ostrouhlý trojuholník $ABC$. Označme $S$ stred kružnice $k$ jemu vpísanej, $A_1$, $B_1$, $C_1$ body dotyku kružnice $k$ a strán $BC$, $CA$, $AB$ trojuholníka. Označme ïalej $X$ prieseèník priamok $B_1{C}_1$ a $CS$, $Y$ priesečník priamok $B_1{C}_1$ a $BS$. Dokážte, že a) body $B,X,Y,C$ ležia na jednej kružnici, b) body $B,X,C_1,S,A_1$ ležia na jednej kružnici.

a) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel $a_1$, $a_2$, pre ktoré platí

b) Nájdite všetky trojice prirodzených čísel $a_1,a_2,a_3$, pre ktoré platí