2. séria

Janko vie písa iba číslice 2 a 9. Môže napísa číslo, ktoré má práve 2009 číslic a je deliteľné $2^{2009}$? Koľko takých èísel môže napísať?

Nech $a$, $b$ a $c$ sú a) prirodzené b) kladné reálne èísla. Dokážte, že $a^a\ast b^b\ast c^c\ge (abc{)}^{\frac{a+b+c}{3}}.$

V rovine je daný trojuholník $UVS$. a) Zostrojte trojuholník $ABC$ taký, že body $U$, $V$, $S$ sú (v tomto poradí) stred strany $AC$, stred strany $BC$ a päta výšky z vrchola $C$. Nezabudnite zdôvodni, že vami zostrojený trojuholník $ABC$ má všetky požadované vlastnosti. Koľko má úloha riešení v závislosti od tvaru daného trojuholníka $UVS$? b) Aké podmienky musí spĺňať trojuholník $UVS$, aby sa dal zostrojiť trojuholník $ABC$, v ktorom sú body $U$ a $V$ pätami výšok z vrcholov $A$ a $B$ a bod $S$ je stredom strany $AB$? c) Zostrojte trojuholník $ABC$ z časti b), ak o ňom navyše viete, že je pravouhlý.

Je daný ostrouhlý trojuholník $ABC$. Označme $S$ stred kružnice $k$ jemu vpísanej, $A_1$, $B_1$, $C_1$ body dotyku kružnice $k$ a strán $BC$, $CA$, $AB$ trojuholníka. Označme ďalej $X$ priesečník priamok $B_1{C}_1$ a $CS$, $Y$ priesečník priamok $B_1{C}_1$ a $BS$, $Z$ stred strany $BC$. Dokážte, že a) priamky $YZ$ a $AB$ sú rovnobežné, b) trojuholník $XYZ$ je rovnostranný práve vtedy, keï veľkosť uhla $\alpha$ je $60^{\circ }$, c) spojnica $B_1{C}_1$ bodov dotyku kružnice vpísanej danému trojuholníku, os uhla $CS$ a stredná priečka rovnobežná s $AC$ sa pretínajú v jednom bode.