34. ročník - letný semester

1. séria

1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-1. séria-Termín: 15. 03. 2010 21:59-Séria je uzavretá-

Ak si nevieš poradiť s niektorou z úloh, pozri sipár tipov.

Poradie

1. ÚLOHA

Gaba a Katka našli kopu čokolád. Celková váha všetkých čokolád je

S

kg a najťažšia z nich má

M

kg. Dievčatá pri delení čokolády postupujú takto: rozdelia všetky čokolády do dvoch kôpok a potom lósom rozhodnú, ktorá kôpka ktorej z nich pripadne.

a) Dokážte, že menšia kôpka má pri hocijakom rozdelení hmotnosť nanajvýš $S - M$ .
b) Ukážte, že dievčatá vedia čokolády rozdeliť na dve kôpky tak, že hmotnosť menšej kôpky bude aspoň $(S - M) /2$ .

2. ÚLOHA

Máme kocku

A BC D EFG H

s hranou dĺžky

1

(zvyčajné označenie; vrcholy

A

C

sú koncovými vrcholmi stenovej uhlopričeky). Uvažujeme cesty v tvare lomených čiar, ktorých úsekmi sú hrany našej kocky (cesta môže po jednej hrane prechádzať aj viackrát). Ktorých ciest dĺžky

2010

začínajúcich v bode

A

je viac: tých, čo končia v

A

, alebo tých, čo končia v

C

? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite.

3. ÚLOHA

Ciferník hodín pozostáva z pravidelného dvanásťuholníka

A_{1} A_{2} \dots A_{12}

vpísaného do kružnice s polomerom

1

. Označme

P

priesečník priamok

A_{1} A_{6}

A_{4} A_{8}

k

kružnicu s tetivou

A_{1} A_{8}

a polomerom

1

(rôznu od kružnice opísanej nášmu dvanásťuholníku). Dokážte, že

a) bod $P$ leží na kružnici $k$ ;b) úsečky $P A_{5}$ a $A_{1} A_{2}$ majú rovnakú dĺžku;c) stred kružnice $k$ leží na úsečke $A_{8} A_{12}$ .

4. ÚLOHA

Nájdite všetky postupnosti

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}

zložené z desiatich prirodzených čísel, ktoré majú obe nasledujúce vlastnosti:

pre každé $i \in {1, 2, \dots, 10}$ platí $1 \leq a_{i} \leq 100$ ;ak $i, j \in {1, 2, \dots, 10}$ , tak číslo $i + j$ delí $a_{i} + a_{j}$ .

Kontakty Podporte nás Ochrana osobných údajov Stanovy