2. séria

Marek navrhol Tomášovi, aby si vybral nejaké trojciferné číslo $\overline{abc}$. Potom ho požiadal, aby mu povedal súčet čísel $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ a $\overline{cba}$. Vie Marek vždy z tohoto súčtu zistiť, ktoré číslo si Tomáš vybral? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite. (Symbolom $\overline{xyz}$ označujeme pozičný zápis čísla v desiatkovej sústave, teda $z$ označuje cifru na mieste jednotiek, $y$ na mieste desiatok a $x$ na mieste stoviek.)

Dvaja hráči, Mazo a Jakub, striedavo píšu na tabuľu usporiadané dvojice nezáporných celých čísel; začína Mazo. Ak chce niekto napísať na tabuľu dvojicu $(a,b)$, musí pre ľubovoľnú už napísanú dvojicu $(c,d)$ platiť $a<c$ alebo $b<d$. Prehráva hráč, ktorý je donútený napísať na tabuľu dvojicu $(0,0)$. a) Ukážte, že takáto hra vždy skončí po konečnom počte ťahov, bez ohľadu na to, ako Mazo s Jakubom hrajú. b) Nájdite a popíšte víťaznú stratégiu pre jedného z hráčov. (Víťazná stratégia je postup, ktorý zabezpečí hráčovi výhru pri akejkoľvek hre protihráča. Samozrejme, pri popise tohto postupu treba brať ťahy protihráča do úvahy.)

Daný je rovnostranný trojuholník $ABC$. Na jeho stranách $CA$, $AB$, $BC$ ležia v tomto poradí body $M$, $N$ a $P$ tak, že uhol $CMP$ je pravý a platí: $|\angle CBM|=\frac{1}{2}|\angle AMN|=\frac{1}{3}|\angle BNP|$ a) Dokážte, že trojuholník $NMB$ je rovnoramenný. b) Zistite veľkosť uhla $CBM$.

Zaoberajme sa reálnymi funkciami $f$ a $g$, pre ktoré platí $f(g(x))=g(f(x))=-x$ pre každé reálne číslo $x$. $(\ast )$ a) Nájdite aspoň tri rôzne dvojice vyhovujúcich funkcií $f,g$. b) Dokážte, že ak platí $(\ast )$ pre nejakú dvojicu funkcií $f,g$, tak obe tieto funkcie sú nepárne. c) Nech dvojica $f,g$ spĺňa podmienku $(\ast )$. Dokážte, že ku každému reálnemu číslu $b$ existuje práve jedno reálne číslo $a$, pre ktoré platí $f(a)=b$. (Funkcia $f$ s touto vlastnosťou sa nazýva bijektívna.) d) Nájdite všetky polynómy $f$ nanajvýš tretieho stupňa, ku ktorým existuje funkcia $g$ tak, aby platil vzťah $(\ast )$.