1. séria

Je známe, že každý rovnostranný trojuholník vieme strednými priečkami rozdeliť na 4 menšie rovnostranné trojuholníky. Podobne vieme rozdeliť každý štvorec na 4 menšie štvorce. Dokážte, že pre každé $n\ge 6$ vieme ľubovoľný rovnostranný trojuholník rozdeliť na $n$ (nie nutne zhodných) rovnostranných trojuholníkov. Je pravda, že pre každé $n\ge 6$ vieme ľubovoľný štvorec rozdeliť na $n$ (nie nutne zhodných) štvorcov?

Koľko je dvojíc kladných celých čísel $(a,b)$ takých, že $a$ a $b$ sú nesúdeliteľné a navyše $\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$ je celé číslo? Koľko by ich bolo, ak by $a$ a $b$ boli súdeliteľné?

Tri kobylky sedia v troch vrcholoch štvorca. Každú minútu jedna z nich preskočí inú kobylku a dopadne do bodu, ktorý je stredovo sumerný s bodom, v ktorom pôvodne stála skáčuca kobylka podľa bodu, v ktorom sedí preskakovaná kobylka. Môže sa niektorej z kobyliek podariť doskákať do štvrtého vrchola štvorca?

Predstavme si štvorčekovú mriežku, ktorá má každý štvorček ofarbený buď čiernou, alebo bielou farbou. Hovoríme, že štvorček je ohrozený, ak má čiernu farbu, v riadku naľavo od neho sa nachádza nejaký biely štvorček a v stĺpci nad štvorčekom sa nachádza nejaký biely štvorček. a) Koľko je rôznych mriežok $2\times 7$, ktoré nemajú žiaden ohrozený štvorček? b) Koľko je rôznych mriežok $2\times n$ ($n$ je ľubovoľné prirodzené číslo), ktoré nemajú žiaden ohrozený štvorček?