Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Janko s Marienkou sa hrajú s $11$ kamienkami. Na začiatku hry sú kamienky na jednej kôpke. Marienka začína (keďže Janko je džentlmen). Na striedačku berú z kôpky $1$, $2$, $3$ alebo $4$ kamienky na svoju kôpku, až kým nie je kôpka úplne rozdelená. Vyhráva ten, kto má po rozdelení všetkých kamienkov na svojej kôpke párny počet kamienkov. Koľko kamienkov má zobrať na začiatku Marienka, aby zaručene vyhrala? Koľko ich má zobrať, ak je na začiatku v kôpke $33$ kamienkov? Nezabudnite svoje tvrdenie poriadne zdôvodniť.

Pre aké hodnoty parametra $b$ majú rovnice
$$2009x^2 + bx + 9002 = 0$$
$$9002x^2 + bx + 2009 = 0$$
spoločný reálny koreň?

Majme ostrouhlý trojuholník $ABC$ s vnútornými uhlami väčšími ako $45^\circ$. Nad stranami $CA$ a $CB$ tohto trojuholníka ako základňami zvonku zostrojíme rovnoramenné pravouhlé trojuholníky $CAP$ a $CBQ$. Vnútri trojuholníka $ABC$ zostrojíme bod $R$ tak, aby $ARB$ bol rovnoramenný pravouhlý trojuholník so základňou $AB$. Dokážte, že $CQRP$ je rovnobežník.

Rovnica $x^3 − 6x^2 + 5x − 1 = 0$ má tri reálne korene $a$, $b$ a $c$, pričom $a < b < c$. 
a) Určte hodnotu $a^5 + b^5 + c^5$. 
b) Ukážte, že číslo $c^{2004}$ je bližšie k svojmu najbližšiemu celému číslu, ako číslo $c^{2003}$ k svojmu najbližšiemu celému číslu.

34. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA