1. séria

Zostrojte rovnobežník $ABCD$, ak sú dané vrcholy $A$ a $C$ a päta $P$ kolmice z bodu $D$ na os vnútorného uhla $DAB$. Nezabudnite určiť, koľko riešení má úloha v závislosti od vzájomnej polohy bodov $A$, $C$ a $P$.

Jožko má doma na poličke v rade uložených desať šálok. Pod dvomi susednými šálkami je po jednej minci a žiadne iné mince sa pod šálkami nenachádzajú. Anička si hneď vybrala niekoľko šálok a opýtala sa, koľko mincí je dokopy pod nimi. Jožko jej však povedal, nech si radšej najprv napíše dve takéto otázky na papier a až potom jej na obidve pravdivo odpovie. Vie Anička takýmto spôsobom vždy zistiť, kde sa nachádzajú spomínané mince?

Daná je konečná množina $\mathcal{M}$ tetív kružnice $k$. Vieme, že každá tetiva z $\mathcal{M}$ prechádza stredom inej tetivy z $\mathcal{M}$. Dokážte, že všetky tetivy v $\mathcal{M}$ sú priemermi kružnice $k$.

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré je číslo $n^n-n$ deliteľné $24$. (Nestačí však iba popísať tieto čísla, ale treba dokázať, že všetky nájdené čísla vyhovujú a žiadne iné nevyhovuje.)

Jožko si z písmenkovej polievky vytiahol písmená $A$, $B$ a $C$ a položil ich na stôl do radu vedľa seba. Potom ich začal vymieňať takýmto spôsobom: Zobral dve a vymenil ich medzi sebou. Napríklad po prvej výmene ich mohol mať takto: $B$ $A$ $C$. Ferko sa ho pýta: „Počuj, vedel by si spraviť presne $57$ výmen tak, aby si mal opäť $A$ $B$ $C$ v tomto poradí? A potom sa ho pýta Marek: „A keby si mal písmenká $M$ $A$ $R$ $E$ $K$? Poraďte Jožkovi, aby nestratil Ferkove ani Markove kamarátstvo.

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník $ABC$ so základňou $AB$ je vpísaný do kružnice $k$. Vnútri kratšieho z oblúkov $AB$ kružnice $k$ leží bod $D$. Nech $k_1$, resp. $k_2$, je kružnica prechádzajúca bodom $D$ a dotýkajúca sa priamky $CA$ v bode $A$, resp. priamky $CB$ v bode $B$.