2. séria

Daný je konvexný päťuholník $ABCDE$. Trojuholníky $ABC$, $ABD$, $ACD$ a $ADE$ majú rovnaký obsah $S$. Aký obsah má trojuholník $BCE$?

Na tabuli je napísaná jednotka. Ak je číslo na tabuli párne, môžeme ho zotrieť a napísať na tabuľu jeho polovicu. Hocikedy môžeme tiež číslo $x$ na tabuli zotrieť a napísať tam $3x+1$ (bez ohľadu na to, či $x$ bolo párne alebo nie).

Prirodzené čísla od $1$ do $999999$ sú rozdelené do dvoch skupín: na tie, ktorých najbližší štvorec prirodzeného čísla je nepárny a tie, ktorých najbližší štvorec prirodzeného čísla je párny (ak je samotné číslo štvorcom prirodzeného čísla, tak najbližší štvorec k nemu je ono samo). Súčet čísel v ktorej skupine je väčší?

Daný je štvorec $ABCD$. Zvoľme bod $E$ vnútri strany $AB$ a označme $P$ priesečník úsečky $DE$ s uhlopriečkou $AC$. Bod $F$ je priesečníkom kolmice na priamku $DE$ v bode $P$ s priamkou $BC$. Dokážte, že $|AE|+|FC|=|EF|$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ také, že pre každú trojicu reálnych čísel $x$, $y$, $z$ platí $f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z)=2y$. (Ak ste sa s úlohou takéhoto typu ešte nestretli, odporúčame vám prečítať si text o funkcionálnych rovniciach od Hanky Budáčovej, ktorý môžete nájsť na adrese kms.sk/∼mazo/matematika/funkcionalne rov.pdf).

Nech $a>b>1$ sú také celé čísla, že $a+b$ delí $ab+1$ a zároveň $a-b$ delí $ab-1$. Dokážte, že potom $a\le b\sqrt{3}$.