1. séria

Nová kolekcia kalkulačiek pod názvom „Nevybuchnem" má iba gombíky ’+1’, ’−1’, ’+4’ a ’−4’. Kedykoľvek je však výsledok operácie deliteľný štyrmi, kalkulačka vybuchne. Na kalkulačke svieti číslo 1. Dá sa pomocou práve 2010 operácií dostať ku číslu 2?

Popíšte trojuholníky, ktoré sa dajú jedným priamym rezom rozdeliť na dva navzájom podobné trojuholníky. Svoje tvrdenie zdôvodnite. (Príklad vhodného popisu: sú to trojuholníky s dĺžkami strán $a$, $b$, $c$, pre ktoré platí $a+2b=4c$. Nezabudnite nielen ukázať, že vami popísané trojuholníky vyhovujú, ale treba tiež zdôvodniť, prečo nevyhovuje žiaden trojuholník, ktorý váš popis nespĺňa.)

Máme dané dĺžky $a$ a $b$, pričom vieme, že sa dá zostrojiť pravidelný mnohouholník so stranou veľkosti a a najdlhšou uhlopriečkou veľkosti $b$. Pomocou pravítka a kružidla ho zostrojte, ak nepoznáte počet jeho strán, dokonca ani neviete, či je tento počet párny alebo nepárny.

Maťko a Kubko si vymysleli novú hru na svojej šachovnici $11\times 11$. Každý hráč môže na šachovnicu v svojom kole položiť na ľubovoľné políčko jeden oriešok (O) alebo jeden xylofón (X). Je to na ňom, čo a kde položí (t.j. vždy si môžu vybrať, či položia O alebo X). Vyhráva ten, kto prvý vytvorí 3 rovnaké symboly v riadku, stĺpci alebo pozdĺž diagonály. Ak Maťko začína, pre koho existuje víťazná stratégia? Mohlo by sa stať, že by ich hra skončila remízou? (Víťazná stratégia je postup, ktorý umožní hráčovi zvíťaziť pri akýchkoľvek ťahoch protihráča.)

Kružnica k prechádza vrcholmi $A$ a $B$ rovnoramenného trojuholníka $ABC$ so základňou $AB$ a dotýka sa priamky $AC$. Dokážte, že kružnica k prechádza stredom vpísanej kružnice, stredom opísanej kružnice alebo priesečníkom výšok trojuholníka $ABC$.

Dlhý John získal mapu pokladu. Poklad je zakopaný v bode $(x,y)$ s celočíselnými súradnicami (môžu byť aj záporné). Tento bod však na mape zobrazený nie je, miesto toho sú tam len napísané hodnoty $x^2+y$, $x+y^2$ (vieme, ktorá z nich prislúcha ktorému výrazu). Tieto hodnoty sú rôzne. Dokážte, že ak John nie je hlúpy, stačí mu na získanie pokladu kopať na jedinom mieste.