2. séria

Na ostrove „Pochúťka" žije 20 kanibalov. Každý z kanibalov má niektorých zo svojich spoluostrovčanov rád a zvyšok nemá rád (nikdy to však nemenia). Každý deň, všetkých, ktorých má rada aspoň polovica žijúcich obyvateľov ostrova, zabijú a zjedia na večeru. Ukážte, že ak prvého októbra bol zjedený prvý kanibal, tak od jedenásteho októbra už nie je možné zjesť nikoho, lebo nikto zo žijúcich kanibalov nechutí aspoň polke obyvateľov ostrova.

Zostrojte štvoruholník $OLDA$, do ktorého sa dá vpísať kružnica s polomerom $4cm$. Navyše viete, že strana $OL$ je dlhá $6cm$, veľkosť uhla $OLD$ je $120^{\circ }$ a vrchol $A$ leží na osi uhla $OLD$. Vedeli by ste ho zostrojiť aj v tom prípade, ak by strana $OL$ bola dlhá $18cm$?

Pre kladné reálne čísla $a$ a $b$ platí $a^2+b^2=1$. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla $c$ a $d$ potomplatí $(ac+bd{)}^2\le c^2+d^2$. Pre ktoré čísla c a d nastáva v tejto nerovnosti rovnosť?

Môže mať mocnina dvojky (s prirodzeným exponentom) vo svojom dekadickom zápise (t.j. zápise v desiatkovej sústave) rovnaký počet jednotiek, dvojok, . . . , deviatok? Svoje tvrdenie nezabudnite poriadne odôvodniť.

Stredy strán $AB$, $BC$ a $CA$ ostrouhlého trojuholníka $ABC$ označíme postupne $K$, $L$ a $M$. Nech kružnice so stredmi v bodoch $K$, $L$, $M$ prechádzajúce priesečníkom výšok $V$ trojuholníka $ABC$ pretnú strany trojuholníka (strany ako úsečky) v šiestich bodoch. Dokážte, že potom týchto šesť bodov leží na jednej kružnici.

Pre ktoré kladné celé čísla $n$ existuje polynóm $P$ stupňa $n$ s reálnymi koeficientmi taký, že $P(0),P(1),P(2),\dots ,P(n-1),P(n+1),P(n+2),P(n+3)$ sú celé čísla a $P(n)$ nie je celé číslo?