Okolo okrúhleho stola sedí $2n$ Grékov, z toho polovica Sparťania a polovica Aténčania. Koľko najviac Grékov v závislosti od $n$ môže sedieť vedľa Aténčana?

Series sa hrá s konečnými postupnosťami kladných celých čísel, a to tak, že do nich na ľubovoľné miesto vkladá alebo z ľubovoľného miesta odoberá dve zhodné susediace podpostupnosti. Napríklad z (5, 4) vie vyrobiť (5, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4) a naopak, alebo z (1) vie vyrobiť (1, 1, 1, 1, 1) a naopak. Dokážte, že Series vie z ľubovoľnej konečnej postupnosti spraviť rastúcu.

Prístav je tvaru štvorca $ABCD$. Lumomoros chce postaviť maják v bode $M$ a to tak, aby existoval rovnoramenný pravouhlý trojuholník $AMN$ s pravým uhlom pri vrchole $M$ a bod $N$ ležal na strane $CD$. Nájdite množinu všetkých možných polôh majáku a dokážte, že pre každý bod nájdenej množiny taký trojuholník existuje.

Series má postupnosť reálnych čísel $\{a_n\}_1^\infty$ takú, že $a_1=3$ a $a_{n+1} = a_n(a_n-1) +1$ pre všetky kladné celé čísla $n$. Dokážte, že
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2026^{2026}} < \sum^{2026}_{i=1} \frac{1}{a_i} < \frac{1}{2}.\]

Sparťania majú na mape zvolených 2026 bodov. Zistili, že keď zvolia ľubovoľných 17, je medzi nimi 11 bodov takých, že ich vedia zakryť kruhom s priemerom 1. Aténčania si priniesli kruhy s priemerom 2. Nájdite najmenší počet aténskych kruhov, ktorý vždy stačí na pokrytie všetkých 2026 bodov.

Funkciotos sa hrá s funkciou $f(x)=x^2 - 33x + 19$. Nájdite všetky celé čísla $n \ge 2$, pre ktoré práve jedno z čísel $f(1),f(2),\dots,f(n)$ je deliteľné číslom $n$.

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Nájdite všetky prirodzené čísla $k$, pre ktoré medzi desiatimi po sebe idúcimi číslami
$$k + 1, k + 2, \dots , k + 10$$
je najviac prvočísel ako môže byť.

Zostrojte bod $M$ vnútri daného trojuholníka $ABC$ tak, aby $S_{ABM} : S_{BCM} : S_{ACM} = 1 : 2 : 3$.

V Kráľovstve leteckom je $m$ miest, v každom jedno letisko. Medzi niektorými mestami existujú
letecké linky, medzi niektorými nie. Inak ako lietadlami sa tu nedá prepravovať. Ďalej tu platia
dve zvláštnosti. Ak by ste zrušili hociktorú linku, stále sa bude dať z každého mesta dostať
do každého. Ak by ste však zrušili ľubovoľné dve linky, prestalo by to platiť. Koľko je v Kráľovstve
leteckom leteckých liniek?


Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ je číslo zapísané v desiatkovej sústave $3^n$ rovnakými číslicami deliteľné číslom $3^n$.

Zistite, či existujú také reálne čísla $b$, $c$, že obidve kvadratické rovnice s neznámou $x$, resp. $y$
$$x^2 + bx + c = 0,$$
$$2y^2 + (b + 1)y + c + 1 = 0$$
majú dva celočíselné korene. Svoju odpoveď zdôvodnite.

Dané sú štyri navzájom rôznobežné priamky v rovine, z ktorých žiadne tri neprechádzajú tým
istým bodom. Tieto priamky určujú štyri trojuholníky.
1. Dokážte, že kružnice opísané týmto štyrom trojuholníkom prechádzajú spoločným bodom $X$.
2. Dokážte, že stredy kružníc opísaných týmto trojuholníkom ležia na kružnici prechádzajúcej bodom $X$.

36. ročník - letný semester

1. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA